Verifique que
O conjunto H dos números racionais da forma x=\frac{p}{3}, é um subgrupo do grupo aditivo \mathbb{Q}.
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Foi dado o conjunto H dos números racionais da forma x=\dfrac{p}{3}. Aqui vou interpretar corretamente que p é um inteiro, ou seja p\in\mathbb{Z}. Portanto
Pede-se verificar que H é um subgrupo do grupo aditivo \mathbb{Q} (ou seja do grupo (\mathbb{Q},+)).
Passo 2
Estratégia e critério de subgrupo (explicado de forma didática).
Para mostrar que um subconjunto H de um grupo (G,+) é subgrupo, uma forma simples e usual é verificar três propriedades:
H não é vazio (ou equivalente: contém o elemento neutro).
H é fechado sob a operação (aqui a soma): se a,b\in H então a+b\in H.
H contém inversos aditivos: se a\in H então -a\in H.
Se essas três propriedades valem, então H é subgrupo de (G,+). Outra forma equivalente (às vezes mais direta) é verificar que H\neq\varnothing e que para todo a,b\in H vale a-b\in H. Vou usar a primeira forma (zero, fechamento por soma e fech. por inverso) porque é muito direta e fácil de aplicar neste exemplo.
Passo 3
Mostrar que H contém o elemento neutro (o zero).
O elemento neutro do grupo aditivo \mathbb{Q} é 0. Note que
0=\dfrac{0}{3},
e como 0\in\mathbb{Z}, segue que 0\in H. Assim H não é vazio e contém o neutro.
Passo 4
Mostrar que H é fechado sob soma (explicação passo a passo).
Sejam x,y\in H. Pela definição de H existem inteiros p,q\in\mathbb{Z} tais que
x=\dfrac{p}{3},\qquad y=\dfrac{q}{3}.
Então a soma é
x+y=\dfrac{p}{3}+\dfrac{q}{3}=\dfrac{p+q}{3}.
Como p e q são inteiros, p+q também é inteiro (fechamento da soma em \mathbb{Z}). Portanto \dfrac{p+q}{3} tem a forma \dfrac{r}{3} com r\in\mathbb{Z}, isto é x+y\in H. Logo H é fechado por soma.
Passo 5
Mostrar que H contém inversos aditivos (explicação passo a passo).
Tomando x\in H com x=\dfrac{p}{3} e p\in\mathbb{Z}, o inverso aditivo de x em \mathbb{Q} é -x. Calcula-se
-x=-\dfrac{p}{3}=\dfrac{-p}{3}.
Como -p\in\mathbb{Z}, concluímos que -x tem a forma \dfrac{r}{3} com r\in\mathbb{Z}, logo -x\in H. Assim H contém todos os inversos aditivos dos seus elementos.
Passo 6
Conclusão final (juntando os resultados).
Mostrou-se que 0\in H, que H é fechado sob soma e que todo elemento de H tem seu inverso aditivo em H. Portanto H satisfaz as condições para ser subgrupo de (\mathbb{Q},+). Assim H é um subgrupo do grupo aditivo \mathbb{Q}.