1. Mostre que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um espaço vetorial.
Informações dadas (explicitadas):
  • Definir o conjunto considerado: \mathcal{P}_2 = \{\,p(x)=ax^2+bx+c \mid a,b,c\in\mathbb{R}\,\}.
  • Campo (os escalares) será \mathbb{R} (ou seja, estamos verificando que é espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
    Pergunta clara: provar que \mathcal{P}_2 satisfaz as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial (ou, de forma prática, provar que é um subespaço do espaço dos polinômios/funções).

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): é mais simples e direto mostrar que \mathcal{P}_2 é um subespaço de um espaço vetorial já conhecido (por exemplo, o espaço de todas as funções reais ou o espaço de todos os polinômios) verificando três coisas práticas:
  1. \mathcal{P}_2 não é vazio (existe o vetor zero).
  2. \mathcal{P}_2 é fechado sob soma: soma de dois polinômios em \mathcal{P}_2 pertence a \mathcal{P}_2.
  3. \mathcal{P}_2 é fechado sob multiplicação por escalar: escalar vezes polinômio em \mathcal{P}_2 pertence a \mathcal{P}_2.
    Se essas três condições forem verdadeiras, então \mathcal{P}_2 é um subespaço do espaço vetorial maior e, portanto, é um espaço vetorial com as operações usuais. Vou seguir essa abordagem porque evita verificar todas as 8–10 axiomas individualmente (essas propriedades básicas garantem que os demais axiomas são herdados do espaço maior).

Passo 3

Definição explícita do conjunto e das operações:
\mathcal{P}_2=\{\,p(x)=ax^2+bx+c \mid a,b,c\in\mathbb{R}\,\}.
Operação de soma (a usual entre polinômios): se
p(x)=a x^2 + b x + c\quad\text{e}\quad q(x)=A x^2 + B x + C,
então
(p+q)(x)= (a+A)x^2 + (b+B)x + (c+C).
Operação de multiplicação por escalar \lambda\in\mathbb{R}:
(\lambda p)(x)= (\lambda a)x^2 + (\lambda b)x + (\lambda c).
Vou usar essas representações em seguida para mostrar fechamento e existência de zero/inverso.

Passo 4

Mostrar que \mathcal{P}_2 não é vazio (existe o vetor zero):
O polinômio zero é
0(x)=0\cdot x^2 + 0\cdot x + 0,
com a=b=c=0. Como 0\in\mathbb{R}, temos 0(x)\in\mathcal{P}_2. Logo \mathcal{P}_2 é não-vazio e contém o elemento neutro da soma.

Passo 5

Fechamento sob soma (passo a passo, com contas detalhadas):
Tome p,q\in\mathcal{P}_2 com
p(x)=a x^2 + b x + c \quad\text{e}\quad q(x)=A x^2 + B x + C,
onde a,b,c,A,B,C\in\mathbb{R}. Então a soma é
(p+q)(x) = (a+A)x^2 + (b+B)x + (c+C).
Cada coeficiente (a+A),(b+B),(c+C) é soma de números reais, portanto é real. Assim (p+q)(x) tem a forma de um polinômio de grau no máximo 2 (pode ser de grau menor, se alguns coeficientes somarem zero, mas continua com grau \le 2). Portanto (p+q)\in\mathcal{P}_2. Concluímos fechamento por soma.
Comentário didático: aqui usamos a ideia simples de que somar polinômios é somar coeficientes correspondentes — é uma operação “coeficiente a coeficiente”, que preserva o formato ax^2+bx+c.

Passo 6

Fechamento sob multiplicação por escalar (detalhado):
Tome p\in\mathcal{P}_2 com p(x)=a x^2 + b x + c e \lambda\in\mathbb{R}. Então
(\lambda p)(x) = (\lambda a)x^2 + (\lambda b)x + (\lambda c).
Cada coeficiente \lambda a,\lambda b,\lambda c é produto de números reais, logo é real. Assim (\lambda p)(x) tem forma a' x^2 + b' x + c' com a',b',c'\in\mathbb{R}, ou seja, pertence a \mathcal{P}_2. Isso prova fechamento por escalares.
Observação: se \lambda=0 obtém-se o polinômio zero mostrado no passo 4, confirmando também que o zero pode ser obtido via multiplicação por escalar.

Passo 7

Existência de inverso aditivo (explicado e exibido):
Para p(x)=a x^2 + b x + c\in\mathcal{P}_2, considere -p(x)=(-a)x^2 + (-b)x + (-c). Claramente -a,-b,-c\in\mathbb{R}, então -p\in\mathcal{P}_2. Além disso (p)+(-p)=0, portanto todo elemento tem inverso aditivo dentro do conjunto.

Passo 8

Herança das demais propriedades (associatividade, comutatividade, distributividade, existência de elemento neutro escalar 1, etc.):
As propriedades como associatividade da soma, comutatividade da soma, distributividade de escalares sobre soma de vetores, e 1\cdot p = p são válidas para polinômios porque são verdadeiras coeficiente a coeficiente nos reais (são propriedades das operações em \mathbb{R}). Como \mathcal{P}_2 usa exatamente as mesmas operações (restritas), essas propriedades são herdadas do espaço maior (por exemplo, do espaço de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} ou do espaço de todos os polinômios). Portanto não é necessário re-provar cada uma: o fechamento já garante que todas essas operações acontecem dentro de \mathcal{P}_2 e as leis algébricas permanecem válidas.

Passo 9

Resumo e conclusão didática:
  • Mostrei que \mathcal{P}_2 contém o polinômio zero.
  • Mostrei que soma de dois polinômios de grau \le 2 é outro polinômio de grau \le 2.
  • Mostrei que escalares multiplicando um polinômio de grau \le 2 produzem outro polinômio de grau \le 2.
  • Mostrei que todo polinômio tem inverso aditivo em \mathcal{P}_2.
  • As demais propriedades axiomáticas são satisfeit as porque as operações são as usuais e são herdadas do corpo \mathbb{R}.
    Por essas razões \mathcal{P}_2 é um subespaço do espaço dos polinômios (ou das funções reais), e assim é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto \mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c \mid a,b,c\in\mathbb{R}\} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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