Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(a, b, 2 a+3 b) ; a, b \in \mathbb{R}\} \quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
S = \{(a,b,2a+3b)\mid a,b\in\mathbb{R}\} \subset V=\mathbb{R}^3
e pede para verificar se S é subespaço de \mathbb{R}^3. Caso seja, queremos exibir um conjunto gerador de S, extrair dele uma base e indicar a dimensão de S. Para isso vamos usar a ideia de representar genericamente um vetor de S como combinação linear de vetores fixos em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Escolhemos dois vetores canônicos em \mathbb{R}^3:
v_1 = (1,0,2), \quad v_2=(0,1,3).
Dado um vetor genérico (a,b,2a+3b)\in S, vemos que
(a,b,2a+3b) = a\,(1,0,2) \;+\; b\,(0,1,3) = a\,v_1 + b\,v_2.
Isso mostra que todo elemento de S é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 3

Como todo vetor de S está em \langle v_1,v_2\rangle e, claramente, qualquer combinação linear de v_1 e v_2 tem a forma (a,b,2a+3b), concluímos
S = \mathrm{span}\{v_1,v_2\}.
Isso implica imediatamente que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, logo S é subespaço de \mathbb{R}^3. Um conjunto gerador de S é
\{\,v_1,v_2\} = \{(1,0,2),\,(0,1,3)\}.

Passo 4

Para extrair uma base, precisamos verificar se v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Seja \[c_1\,v_1 + c_2\,v_2 = (0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} c_1 = 0,\\\ c_2 = 0,\\\\ 2c_1 + 3c_2 = 0, \end{cases}
cuja única solução é c_1=c_2=0\]. Logo \(v_1 e v_2 são LI, formam uma base de S e a dimensão de S é o número de vetores na base, isto é,
\dim(S) = 2.

Resposta

Sim, S é subespaço de \mathbb{R}^3.
Um conjunto gerador de S é \{(1,0,2),(0,1,3)\}.
Uma base de S é \{(1,0,2),(0,1,3)\}.
A dimensão de S é 2.

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