Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(a, a+c+1, c) ; a, c \in \mathbb{R}\} \quad V=M_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define \mathbf{S} = \{(a,\;a+c+1,\;c)\mid a,c\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se \mathbf{S} é subespaço de V. Para isso basta checar se \mathbf{S} contém o vetor zero e se é fechada sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a \mathbf{S}. Se existirem a,c tais que
(a,\;a+c+1,\;c) = (0,0,0),
então as coordenadas devem satisfazer simultaneamente a=0, c=0, a+c+1=0.
Substituindo a=0 e c=0 na terceira equação obtemos
0 + 0 + 1 = 1 \neq 0,
logo não há solução. Portanto (0,0,0)\notin\mathbf{S} e \mathbf{S} não contém o vetor zero.

Resposta

\mathbf{S} não é subespaço vetorial de V.

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