Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{a x^{2}+b x+c ; a+b+c=0\right\} \quad V=P_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define
S = \{\,a x^{2} + b x + c \mid a + b + c = 0\}
como um subconjunto de V = P_{2}(\mathbb{R}). Precisamos verificar se S é subespaço vetorial e, em caso afirmativo, achar um conjunto gerador, uma base e a dimensão de S.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço vetorial de V, basta verificar três propriedades:
  1. Vetor zero: \,0x^{2}+0x+0 está em S, pois 0+0+0=0.
  2. Fechamento em soma: se p(x)=a x^{2}+b x+c e q(x)=a'x^{2}+b'x+c' estão em S, então
(a+a') + (b+b') + (c+c') = (a+b+c) + (a'+b'+c') = 0 + 0 = 0,
logo p+q\in S.
3. Fechamento em escalar: se \lambda\in\mathbb{R} e p(x)=a x^{2}+b x+c\in S, então
\lambda a + \lambda b + \lambda c = \lambda(a+b+c) = \lambda\cdot 0 = 0,
logo \lambda p\in S.
Assim, S é subespaço de V.

Passo 3

A condição a+b+c=0 implica
c = -(a+b).
Logo qualquer p\in S escreve-se
p(x) \;=\; a x^{2} + b x - (a+b) \;=\; a(x^{2}-1) \;+\; b(x-1).
Portanto
S = \bigl\{\,a(x^{2}-1) + b(x-1)\mid a,b\in\mathbb{R}\bigr\} = \mathrm{span}\{\,x^{2}-1,\;x-1\}.

Passo 4

Os vetores x^{2}-1 e x-1 são linearmente independentes (não há escalares \lambda,\mu não nulos com \lambda(x^{2}-1)+\mu(x-1)=0). Assim eles formam uma base de S. Como há dois vetores na base, a dimensão de S é 2.

Resposta

Um conjunto gerador: \{\,x^{2}-1,\;x-1\}
Uma base: \{\,x^{2}-1,\;x-1\} \dim(S)=2

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