Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
como um subconjunto de
. Precisamos verificar se
é subespaço vetorial e, em caso afirmativo, achar um conjunto gerador, uma base e a dimensão de
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, basta verificar três propriedades:
- Vetor zero:
está em , pois . - Fechamento em soma: se
e estão em , então
logo
.
3. Fechamento em escalar: se e
, então
3. Fechamento em escalar: se
logo
.
Assim,
é subespaço de
.
Passo 3
A condição
implica
Logo qualquer
escreve-se
Portanto
Passo 4
Os vetores
e
são linearmente independentes (não há escalares
não nulos com
). Assim eles formam uma base de
. Como há dois vetores na base, a dimensão de
é 2.
Resposta
Um conjunto gerador:
Uma base:
Uma base: