Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\left\{a x^{3}+a x^{2}+a x+a+1 ; a \in \mathbb{R}\right\} \quad V=P_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para vermos se
S=\{\,a x^{3}+a x^{2}+a x+a+1 : a\in\mathbb{R}\}
é subespaço de V=P_{3}(\mathbb{R}).
Conteúdo: propriedades de subespaços (conter o vetor zero, fechadura em soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero \,0\in P_{3}(\mathbb{R}) pertence a S.
Se existisse a_{0} tal que
a_{0}x^{3}+a_{0}x^{2}+a_{0}x+a_{0}+1 \;=\;0
para todo x, então em particular o coeficiente constante deveria satisfazer
a_{0}+1=0\quad\Longrightarrow\quad a_{0}=-1.
Mas com a_{0}=-1 o coeficiente de x^{3} fica -1\neq0. Logo não há a_{0} que produza o polinômio zero, isto é, 0\notin S.

Passo 3

Como um subespaço vetorial deve conter o vetor zero, já concluímos que S não é subespaço de V. Não é preciso testar as demais propriedades.

Resposta

O conjunto S não é subespaço vetorial de V, pois não contém o polinômio zero.

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