Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(x, y, z) ; x-2 y+5 z=0\} \quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbf{S}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+5z=0\}
é subespaço de \mathbb{R}^3, e, em caso afirmativo, determinar um conjunto gerador de \mathbf{S}, uma base e a dimensão de \mathbf{S}.
Conteúdo: subespaços definidos por equações lineares homogêneas, verificação de condições de subespaço e obtenção de parametrização.

Passo 2

Mostramos que \mathbf{S} satisfaz as três condições de subespaço vetorial:
  1. Vetor zero: para (x,y,z)=(0,0,0) temos 0-2\cdot0+5\cdot0=0, logo \mathbf{0}\in\mathbf{S}.
  2. Fechamento em soma: se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) satisfazem a equação, então
(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=(x_1-2y_1+5z_1)+(x_2-2y_2+5z_2)=0+0=0,
logo a soma está em \mathbf{S}.
3. Fechamento em escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in\mathbf{S},
\lambda x-2(\lambda y)+5(\lambda z)=\lambda(x-2y+5z)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda(x,y,z)\in\mathbf{S}.
Logo, \mathbf{S} é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para obter um gerador, parametrizamos a equação
x-2y+5z=0\;\Longrightarrow\;x=2y-5z.
Então todo vetor de \mathbf{S} tem a forma
(x,y,z)=(2y-5z,\;y,\;z) =y\,(2,1,0)+z\,(-5,0,1).

Passo 4

Da parametrização vemos que \{(2,1,0),\,(-5,0,1)\} gera \mathbf{S}.
Para verificar que é base, note que nenhum dos vetores é múltiplo escalar do outro, logo são LI.
Portanto essa dupla é base de \mathbf{S} e \dim\mathbf{S}=2.

Resposta

Sim, \mathbf{S} é subespaço de \mathbb{R}^3.
Um gerador de \mathbf{S} é \{(2,1,0),\,(-5,0,1)\}.
Uma base de \mathbf{S} é \{(2,1,0),\,(-5,0,1)\}. \dim\mathbf{S}=2.

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