Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
onde
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e o conjunto
Precisamos verificar se
é subespaço de
. Se for, determinar um conjunto gerador de
, extrair dele uma base e, por fim, a dimensão de
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
, checamos três propriedades:
-
O polinômio zero está em
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar. -
Tomando
e temos , então . -
Se
e estão em , então e . Logo, para a soma
temos
ou seja,
.
3. Se e
, então
3. Se
e
portanto
.
Como as três propriedades valem,
é subespaço de
.
Passo 3
Para encontrar um gerador de
, resolvemos a condição
. Por exemplo, isolamos
:
Assim todo polinômio de
se escreve
Logo
Portanto
é um conjunto gerador de
.
Passo 4
O conjunto
é formado por um único vetor (polinômio) não nulo, e sabemos que um conjunto gerador minimal desse tipo é uma base. Logo
Resposta
Um gerador de
é
, que é também base de
, e
.