Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(x, 1,1) ; x \in \mathbb{R}\} \quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = \{(x,1,1)\mid x\in\mathbb{R}\}
do espaço vetorial V=\mathbb{R}^3. Para verificar se S é subespaço vetorial, precisamos conferir três propriedades principais:
  1. \mathbf{0}=(0,0,0) está em S?
  2. Fechamento sob adição: se u,v\in S então u+v\in S?
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S?

Passo 2

Verifiquemos se o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a S. Um elemento genérico de S é (x,1,1). Para que (x,1,1)=(0,0,0) seria necessário ter 1=0, o que é impossível. Logo, \mathbf{0}\notin S.

Passo 3

Como um subespaço vetorial deve conter o vetor nulo, concluímos que S não satisfaz essa condição fundamental.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Portanto não faz sentido falar em gerador, base ou dimensão de S.

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