Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{a x+b ; 3 a+2 b=0 onde a, b \in \mathbb{R}\} \quad V=P_{1}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=P_{1}(\mathbb{R}) (polinômios de grau <=1) e o conjunto
S = \{\,a x + b \mid a,b\in\mathbb{R},\;3a+2b=0\}.
Precisamos verificar se S é subespaço de V. Se for, determinar um conjunto gerador de S, extrair dele uma base e, por fim, a dimensão de S.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço de V, checamos três propriedades:
  1. O polinômio zero está em S.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.
  4. Tomando a=0 e b=0 temos 3\cdot0+2\cdot0=0, então 0\cdot x+0=0\in S.
  5. Se p_1(x)=a_1x+b_1 e p_2(x)=a_2x+b_2 estão em S, então 3a_1+2b_1=0 e 3a_2+2b_2=0. Logo, para a soma
p_1(x)+p_2(x)=(a_1+a_2)x+(b_1+b_2)
temos
3(a_1+a_2)+2(b_1+b_2) =(3a_1+2b_1)+(3a_2+2b_2) =0+0 =0,
ou seja, p_1+p_2\in S.
3. Se p(x)=ax+b\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda p(x)=(\lambda a)x+(\lambda b)
e
3(\lambda a)+2(\lambda b) =\lambda(3a+2b) =\lambda\cdot0 =0,
portanto \lambda p\in S.
Como as três propriedades valem, S é subespaço de V.

Passo 3

Para encontrar um gerador de S, resolvemos a condição 3a+2b=0. Por exemplo, isolamos b:
2b=-3a \quad\Longrightarrow\quad b=-\frac{3}{2}a.
Assim todo polinômio de S se escreve
a\,x + b = a\,x - \frac{3}{2}a = a\Bigl(x - \frac{3}{2}\Bigr).
Logo
S = \bigl\{\,a\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)\mid a\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{span}\{\,x-\tfrac{3}{2}\}.
Portanto \{\,x-\tfrac{3}{2}\} é um conjunto gerador de S.

Passo 4

O conjunto \{\,x-\tfrac{3}{2}\} é formado por um único vetor (polinômio) não nulo, e sabemos que um conjunto gerador minimal desse tipo é uma base. Logo
\text{base de }S=\{\,x-\tfrac{3}{2}\} \quad\text{e}\quad \dim(S)=1.

Resposta

Um gerador de S é \{\,x-\tfrac{3}{2}\}, que é também base de S, e \dim(S)=1.

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