Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações dadas, formam um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais.
O conjunto das matrizes \mathrm{M}_{2 \times 2} com a soma usual e a multiplicação dada por \mathrm{m} \cdot\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{m} \cdot \mathrm{a} & \mathrm{m} \cdot \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathrm{M}_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais), a soma é a soma usual de matrizes e a multiplicação por escalares é definida por
\mathrm{m}\cdot\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathrm{m}\cdot a & \mathrm{m}\cdot b \\[4pt] c & d \end{bmatrix}.
O que se pede: verificar se esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre os reais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O conjunto é \mathrm{M}_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • A soma + é a soma usual de matrizes.
  • A multiplicação por escalar \mathrm{m} altera apenas a primeira linha da matriz (multiplica a e b por \mathrm{m}; deixa c,d inalterados).
  • A base do escalar é o corpo \mathbb{R} (os escalares são números reais).]

Passo 2

O que precisamos verificar (definição prática): para que \mathrm{M}_{2\times2} com essas operações seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial devem valer. Vou escrever os axiomas que vou checar e explicar o que cada um significa, com notação clara:
  • Seja V o conjunto (aqui V=\mathrm{M}_{2\times2}). Seja u,v,w\in V vetores (aqui matrizes) e \lambda,\mu\in\mathbb{R} escalares.
    Axiomas a checar:
  1. (Fechamento da soma) u+v\in V.
  2. (Comutatividade) u+v=v+u.
  3. (Associatividade) (u+v)+w=u+(v+w).
  4. (Existência do vetor nulo) Existe 0\in V tal que u+0=u para todo u.
  5. (Existência de inversos aditivos) Para cada u existe -u\in V com u+(-u)=0.
  6. (Distributividade do escalar sobre soma de vetores) \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v.
  7. (Distributividade do campo sobre vetor) (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u.
  8. (Compatibilidade da multiplicação escalar) \lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u.
  9. (Elemento escalar unitário) 1\cdot u = u.
    Vou verificar (e explicar) cada um desses pontos para as operações dadas.

Passo 3

Verificando propriedades relacionadas apenas com a soma (ela é a soma usual de matrizes).
  • Fechamento: Soma de duas matrizes 2\times2 é ainda uma matriz 2\times2. Logo u+v\in V.
  • Comutatividade: Soma usual de matrizes é comutativa; isto é, u+v=v+u.
  • Associatividade: Soma usual de matrizes é associativa; (u+v)+w=u+(v+w).
  • Vetor nulo: A matriz nula \displaystyle 0=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix} satisfaz u+0=u para todo u.
  • Inverso aditivo: Para u=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} o inverso é -u=\begin{bmatrix}-a & -b \\[4pt] -c & -d\end{bmatrix}, e u+(-u)=0.
    Conclusão desta etapa: todas as propriedades da estrutura aditiva são satisfeitas, porque a soma é a soma usual de matrizes.]

Passo 4

Entendendo a multiplicação por escalar dada. Para clareza, chamo o escalar de \lambda e a matriz de
M=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d \end{bmatrix}.
Pela definição do enunciado,
\lambda\cdot M = \lambda\cdot\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] c & d \end{bmatrix}.
Interpretação didática: multiplicar por \lambda só escala a primeira linha (a,b); a segunda linha (c,d) fica exatamente igual, independentemente de \lambda.]

Passo 5

Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 6): \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v.
Sejam
M=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},\qquad N=\begin{bmatrix}a' & b' \\[4pt] c' & d'\end{bmatrix}.
Primeiro calcule M+N (soma usual):
M+N=\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{bmatrix}.
Agora aplique \lambda segundo a regra dada:
\lambda\cdot(M+N)=\begin{bmatrix}\lambda(a+a') & \lambda(b+b') \\[4pt] c+c' & d+d'\end{bmatrix}.
Por outro lado,
\lambda\cdot M + \lambda\cdot N = \begin{bmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\lambda a' & \lambda b' \\[4pt] c' & d'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda a+\lambda a' & \lambda b+\lambda b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{bmatrix}.
Comparando as duas matrizes vemos que são iguais, pois \lambda(a+a')=\lambda a+\lambda a' e \lambda(b+b')=\lambda b+\lambda b', e as segundas linhas coincidem em ambos os lados ( c+c', d+d'). Conclusão: o axioma 6 vale para todas as matrizes.]

Passo 6

Verificação da compatibilidade da multiplicação escalar (axioma 8): \lambda(\mu M)=(\lambda\mu)M.
Calcule \mu M:
\mu M = \begin{bmatrix}\mu a & \mu b \\[4pt] c & d \end{bmatrix}.
Agora aplique \lambda à matriz \mu M pela regra:
\lambda(\mu M) = \begin{bmatrix}\lambda(\mu a) & \lambda(\mu b) \\[4pt] c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(\lambda\mu)a & (\lambda\mu)b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}.
E (\lambda\mu)M pela regra é exatamente
(\lambda\mu)M = \begin{bmatrix}(\lambda\mu)a & (\lambda\mu)b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}.
Portanto \lambda(\mu M)=(\lambda\mu)M para todos os escalares e matrizes. O axioma 8 vale.]

Passo 7

Verificação do axioma do escalar unitário (axioma 9): 1\cdot M = M.
Pela definição,
1\cdot M = \begin{bmatrix}1\cdot a & 1\cdot b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} = M.
Logo o axioma 9 é satisfeito.]

Passo 8

Verificação da distributividade do campo sobre o vetor (axioma 7): (\lambda+\mu)M = \lambda M + \mu M. Esta é a propriedade que costuma causar problemas neste tipo de definição estranha; vamos checar cuidadosamente.
Calcule o lado esquerdo pela definição:
(\lambda+\mu)M = \begin{bmatrix}(\lambda+\mu)a & (\lambda+\mu)b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}.
Agora o lado direito:
\lambda M + \mu M = \begin{bmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\mu a & \mu b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda a+\mu a & \lambda b+\mu b \\[4pt] c+c & d+d\end{bmatrix}.
Simplificando:
\lambda a+\mu a = (\lambda+\mu)a,\qquad \lambda b+\mu b = (\lambda+\mu)b,
mas na segunda linha obtemos \begin{bmatrix}2c & 2d\end{bmatrix} no lado direito, enquanto no lado esquerdo a segunda linha é \begin{bmatrix}c & d\end{bmatrix}.
Portanto, em geral,
(\lambda+\mu)M = \begin{bmatrix}(\lambda+\mu)a & (\lambda+\mu)b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}(\lambda+\mu)a & (\lambda+\mu)b \\[4pt] 2c & 2d\end{bmatrix} = \lambda M + \mu M.
A igualdade só ocorreria para todas as escolhas de \lambda,\mu se \begin{bmatrix}c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2c & 2d\end{bmatrix}, isto é, somente quando c=d=0. Como o conjunto \mathrm{M}_{2\times2} contém matrizes com c ou d não-nulos, a propriedade não vale em geral.
Para deixar mais concreto, apresento um contraexemplo numérico simples: escolha \lambda=\mu=1 e
M=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}.
Então
(\lambda+\mu)M = 2\cdot M = \begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}
pela definição (pois a segunda linha fica inalterada),
enquanto
\lambda M + \mu M = M + M = \begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix}.
Claramente \begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 2 & 0\end{bmatrix}. Logo a igualdade falha.]

Passo 9

Conclusão lógica e didática: já que um dos axiomas essenciais (especificamente (\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u) não é satisfeito em geral no conjunto inteiro \mathrm{M}_{2\times2} com a multiplicação escalar dada, a estrutura não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Uma observação útil para estudo: se restringíssemos o conjunto a todas as matrizes cuja segunda linha seja \begin{bmatrix}0 & 0\end{bmatrix}, aí a regra de multiplicação por escalar coincide com a multiplicação usual e todos os axiomas seriam satisfeitos; mas no enunciado o conjunto é todo \mathrm{M}_{2\times2}, então a falha permanece.

Resposta

Não — não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois falha a propriedade (\lambda+\mu)M=\lambda M+\mu M (contraexemplo explícito: \lambda=\mu=1 e M=\begin{bmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}).]

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