Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações dadas, formam um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais.
O conjunto das matrizes
com a soma usual e a multiplicação dada por
.
O conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(todas as matrizes
com entradas reais), a soma é a soma usual de matrizes e a multiplicação por escalares é definida por
O que se pede: verificar se esse conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre os reais.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O conjunto é
(todas as matrizes com entradas reais). - A soma
é a soma usual de matrizes. - A multiplicação por escalar
altera apenas a primeira linha da matriz (multiplica e por ; deixa inalterados). - A base do escalar é o corpo
(os escalares são números reais).]
Passo 2
O que precisamos verificar (definição prática): para que
com essas operações seja um espaço vetorial sobre
, todas as propriedades/axiomas de espaço vetorial devem valer. Vou escrever os axiomas que vou checar e explicar o que cada um significa, com notação clara:
- Seja
o conjunto (aqui ). Seja vetores (aqui matrizes) e escalares.
Axiomas a checar:
- (Fechamento da soma)
. - (Comutatividade)
. - (Associatividade)
. - (Existência do vetor nulo) Existe
tal que para todo . - (Existência de inversos aditivos) Para cada
existe com . - (Distributividade do escalar sobre soma de vetores)
. - (Distributividade do campo sobre vetor)
. - (Compatibilidade da multiplicação escalar)
. - (Elemento escalar unitário)
.
Vou verificar (e explicar) cada um desses pontos para as operações dadas.
Passo 3
Verificando propriedades relacionadas apenas com a soma (ela é a soma usual de matrizes).
- Fechamento: Soma de duas matrizes
é ainda uma matriz . Logo . - Comutatividade: Soma usual de matrizes é comutativa; isto é,
. - Associatividade: Soma usual de matrizes é associativa;
. - Vetor nulo: A matriz nula
satisfaz para todo . - Inverso aditivo: Para
o inverso é , e .
Conclusão desta etapa: todas as propriedades da estrutura aditiva são satisfeitas, porque a soma é a soma usual de matrizes.]
Passo 4
Entendendo a multiplicação por escalar dada. Para clareza, chamo o escalar de
e a matriz de
Pela definição do enunciado,
Interpretação didática: multiplicar por
só escala a primeira linha
; a segunda linha
fica exatamente igual, independentemente de
.]
Passo 5
Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 6):
.
Sejam
Sejam
Primeiro calcule
(soma usual):
Agora aplique
segundo a regra dada:
Por outro lado,
Comparando as duas matrizes vemos que são iguais, pois
e
, e as segundas linhas coincidem em ambos os lados (
). Conclusão: o axioma 6 vale para todas as matrizes.]
Passo 6
Verificação da compatibilidade da multiplicação escalar (axioma 8):
.
Calcule :
Calcule
Agora aplique
à matriz
pela regra:
E
pela regra é exatamente
Portanto
para todos os escalares e matrizes. O axioma 8 vale.]
Passo 7
Verificação do axioma do escalar unitário (axioma 9):
.
Pela definição,
Pela definição,
Logo o axioma 9 é satisfeito.]
Passo 8
Verificação da distributividade do campo sobre o vetor (axioma 7):
. Esta é a propriedade que costuma causar problemas neste tipo de definição estranha; vamos checar cuidadosamente.
Calcule o lado esquerdo pela definição:
Calcule o lado esquerdo pela definição:
Agora o lado direito:
Simplificando:
mas na segunda linha obtemos
no lado direito, enquanto no lado esquerdo a segunda linha é
.
Portanto, em geral,
Portanto, em geral,
A igualdade só ocorreria para todas as escolhas de
se
, isto é, somente quando
. Como o conjunto
contém matrizes com
ou
não-nulos, a propriedade não vale em geral.
Para deixar mais concreto, apresento um contraexemplo numérico simples: escolha
e
Então
pela definição (pois a segunda linha fica inalterada),
enquanto
enquanto
Claramente
. Logo a igualdade falha.]
Passo 9
Conclusão lógica e didática: já que um dos axiomas essenciais (especificamente
) não é satisfeito em geral no conjunto inteiro
com a multiplicação escalar dada, a estrutura não é um espaço vetorial sobre
. Uma observação útil para estudo: se restringíssemos o conjunto a todas as matrizes cuja segunda linha seja
, aí a regra de multiplicação por escalar coincide com a multiplicação usual e todos os axiomas seriam satisfeitos; mas no enunciado o conjunto é todo
, então a falha permanece.
Resposta
Não — não é um espaço vetorial sobre
, pois falha a propriedade
(contraexemplo explícito:
e
).]