Verifique se o conjunto S é subespaço do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(b) S=f: R R: f(4)=0, V=F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto S = f: R R mid f(4) = 0 é um subespaço do espaço vetorial V = F(R) , que é o conjunto de todas as funções de R para R . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar três propriedades chave: se S não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se S não está vazio. Um subespaço precisa ter pelo menos o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a função f(x) = 0 para todo x . Vamos ver se essa função está em S . Substituindo x = 4 :
f(4) = 0
Como f(4) = 0 , a função zero está em S . Então, S não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos conferir se S é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer f e g em S , a soma delas também deve estar em S . Ou seja, precisamos mostrar que (f + g)(4) = 0 .
Sabemos que:
(f + g)(4) = f(4) + g(4)
Como f e g estão em S , f(4) = 0 e g(4) = 0 . Então:
(f + g)(4) = 0 + 0 = 0
Portanto, f + g também está em S , e S é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se S é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que para qualquer função f em S e qualquer escalar c em R , a função c cdot f também deve estar em S . Precisamos verificar se (c cdot f)(4) = 0 .
Calculando:
(c cdot f)(4) = c cdot f(4)
Como f está em S , f(4) = 0 . Então:
(c cdot f)(4) = c cdot 0 = 0
Assim, c cdot f também está em S , confirmando que S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto S = f: R R mid f(4) = 0 é um subespaço do espaço vetorial V = F(R) .

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