Verifique se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial
nos seguintes casos:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções de
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar três propriedades chave: se
não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Um subespaço precisa ter pelo menos o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero é a função
para todo
. Vamos ver se essa função está em
. Substituindo
:
Como
, a função zero está em
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer
e
em
, a soma delas também deve estar em
. Ou seja, precisamos mostrar que
.
Sabemos que:
Como
e
estão em
,
e
. Então:
Portanto,
também está em
, e
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que para qualquer função
em
e qualquer escalar
em
, a função
também deve estar em
. Precisamos verificar se
.
Calculando:
Como
está em
,
. Então:
Assim,
também está em
, confirmando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.