Verifique se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial
nos seguintes casos:
(c)
.
(c)
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções de
para
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três coisas:
- Se
não está vazio. - Se
é fechado sob adição (soma de duas funções de também está em ). - Se
é fechado sob multiplicação por escalar (uma função de multiplicada por um número qualquer também está em ).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Um conjunto vetorial precisa ter pelo menos o vetor zero (ou função zero, no caso). A função zero,
para todo
, pertence a
porque
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções
e
que pertencem a
, a soma
também deve pertencer a
. Como
, sabemos que
. Da mesma forma,
. Então, para a função
:
Portanto,
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se
e
é um número real qualquer, então
também deve estar em
. Sabemos que
. Então, para a função
:
Portanto,
também satisfaz a condição
, ou seja,
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.