Verifique se o conjunto S é subespaço do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(c) S=f: R R: f(-1)=f(3), V=F(R).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto S = f: R R mid f(-1) = f(3) é um subespaço do espaço vetorial V = F(R) , que é o conjunto de todas as funções de R para R . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. Se S não está vazio.
  2. Se S é fechado sob adição (soma de duas funções de S também está em S ).
  3. Se S é fechado sob multiplicação por escalar (uma função de S multiplicada por um número qualquer também está em S ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se S não está vazio. Um conjunto vetorial precisa ter pelo menos o vetor zero (ou função zero, no caso). A função zero, f(x) = 0 para todo x , pertence a S porque f(-1) = 0 = f(3) . Então, S não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos ver se S é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções f e g que pertencem a S , a soma f + g também deve pertencer a S . Como f in S , sabemos que f(-1) = f(3) . Da mesma forma, g(-1) = g(3) . Então, para a função f + g :
(f + g)(-1) = f(-1) + g(-1) = f(3) + g(3) = (f + g)(3)
Portanto, f + g também satisfaz a condição (f + g)(-1) = (f + g)(3) , ou seja, f + g in S . Assim, S é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se f in S e c é um número real qualquer, então c cdot f também deve estar em S . Sabemos que f(-1) = f(3) . Então, para a função c cdot f :
(c cdot f)(-1) = c cdot f(-1) = c cdot f(3) = (c cdot f)(3)
Portanto, c cdot f também satisfaz a condição (c cdot f)(-1) = (c cdot f)(3) , ou seja, c cdot f in S . Assim, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que S = f: R R mid f(-1) = f(3) é um subespaço do espaço vetorial V = F(R) .

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