Verifique se o conjunto é subespaço do espaço vetorial nos seguintes casos:
(d) .
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Queremos verificar se o conjunto S = x y z : x + z = 5 é um subespaço do espaço vetorial V = R^3 . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço. Um subespaço deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor 0 0 0 deve estar em S .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em S , a soma deles também deve estar em S .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em S , qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em S .
Vamos verificar essas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em S . O vetor zero é 0 0 0 . Substituindo na condição x + z = 5 , temos:
0 + 0 = 0
Como 0 neq 5 , o vetor zero não está em S .
Passo 3
Como já descobrimos que o vetor zero não está em S , não precisamos verificar as outras condições. Um subespaço deve obrigatoriamente conter o vetor zero. Se essa condição não é satisfeita, S não é um subespaço, independente das demais propriedades.
Resposta
O conjunto S = x y z : x + z = 5 não é um subespaço do espaço vetorial R^3 , pois não contém o vetor zero.