Verifique se o conjunto
, com as operações indicadas, é um
-espaço vetorial.
(a)
, opoerações usuais;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
munido da soma vetorial e da multiplicação por escalar “usuais” é um espaço vetorial sobre
. Para isso, usaremos a definição de espaço vetorial, que exige que:
-
seja um grupo abeliano. - A multiplicação por escalar satisfaça quatro propriedades de compatibilidade com a soma em
e em , e tenha elemento neutro.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- (Fechamento) Se
e estão em , então - (Associatividade) A soma em
herda a associatividade de . - (Elemento neutro)
satisfaz . - (Inverso) Para
, o inverso é . - (Comutatividade) Também herdada de
: .
Passo 3
Mostramos que a multiplicação escalar
satisfaz os axiomas:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade com produto de escalares:
- Elemento neutro escalar:
Passo 4
Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial estão verificadas, concluímos que
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é de fato um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim,
com operações usuais é um
-espaço vetorial.