Verifique se o conjunto V, com as operações indicadas, é um R-espaço vetorial.
(a) V=R^3, opoerações usuais;

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o conjunto
V=R^3
munido da soma vetorial e da multiplicação por escalar “usuais” é um espaço vetorial sobre R. Para isso, usaremos a definição de espaço vetorial, que exige que:
  1. (V,+) seja um grupo abeliano.
  2. A multiplicação por escalar satisfaça quatro propriedades de compatibilidade com a soma em V e em R, e tenha elemento neutro.

Passo 2

Verificamos que (R^3,+) é um grupo abeliano:
  • (Fechamento) Se u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) estão em R^3, então u+v=(u1+v1,;u2+v2,;u3+v3)inR^3
  • (Associatividade) A soma em R^3 herda a associatividade de R.
  • (Elemento neutro) 0=(0,0,0) satisfaz u+0=u.
  • (Inverso) Para u=(u1,u2,u3), o inverso é -u=(-u1,-u2,-u3).
  • (Comutatividade) Também herdada de R: u+v=v+u.

Passo 3

Mostramos que a multiplicação escalar
RtimesR^3toR^3, (alpha,u)mapsto alpha,u=(alpha u1,alpha u2,alpha u3)
satisfaz os axiomas:
  1. Distributividade em relação à soma de vetores: alpha(u+v) =alpha(u1+v1,dots) =(alpha u1+alpha v1,dots) =alphau+alphav
  2. Distributividade em relação à soma de escalares: (alpha+beta)u =((alpha+beta)u1,dots) =(alpha u1+beta u1,dots) =alphau+betau
  3. Compatibilidade com produto de escalares: alpha(betau) =alpha(beta u1,dots) =(alphabeta,u1,dots) =(alphabeta)u
  4. Elemento neutro escalar: 1cdotu=(1cdot u1,1cdot u2,1cdot u3)=u

Passo 4

Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial estão verificadas, concluímos que R^3 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é de fato um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Sim, l(R^3,,+,,cdotr) com operações usuais é um R-espaço vetorial.

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