Verifique se o conjunto de vetores dado é LI ou LD no espaço indicado.
v1=[ll3 & 0 0 & 0], v2=[cc2 & -1 1 & 0], v3=[ll0 & 1 0 & 1], v4=[ll5 & 0 1 & 1] no espaço vetorial M2(R) das matrizes 2 times 2

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M2(R):
v1=3 & 00 & 0, v2=2 & -11 & 0, v3=0 & 10 & 1, v4=5 & 01 & 1
e pede para checar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, usamos o conceito de combinação linear: se existir uma solução não trivial para
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4=0,
então o conjunto é LD; caso contrário, é LI.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos cada entrada à zero. Seja
alpha13 & 00 & 0 +alpha22 & -11 & 0 +alpha30 & 10 & 1 +alpha45 & 01 & 1 =0 & 00 & 0

Passo 3

Igualando as entradas da matriz resultante a zero, obtemos o sistema
3alpha1+2alpha2+5alpha4=0, -alpha2+alpha3=0, alpha2+alpha4=0, alpha3+alpha4=0

Passo 4

Resolvendo, da segunda equação vem alpha3=alpha2. Da terceira vem alpha4=-alpha2. Substituindo na quarta:
alpha3+alpha4=alpha2-alpha2=0,
que é consistente. Na primeira:
3alpha1+2alpha2+5(-alpha2)=3alpha1-3alpha2=0 ;Longrightarrow;alpha1=alpha2
Logo temos a solução não trivial alpha1=alpha2=alpha3=t, alpha4=-t, tneq0.

Passo 5

Como existe tneq0 que satisfaz a combinação linear nula, o conjunto é linearmente dependente. Por exemplo,
v1+v2+v3-v4=0

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em M2(R).

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