Verifique se o conjunto de vetores dado é LI ou LD no espaço indicado.
v1=(1,0,0,1), v2=(0,-1,-1,-2), v3=(0,0,1,1), v4=(0,2,1,3) no R^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os quatro vetores
v1=(1,0,0,1), v2=(0,-1,-1,-2), v3=(0,0,1,1), v4=(0,2,1,3)
são linearmente independentes ou dependentes em R^4.
Para isso, vamos usar a definição: eles são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial
a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
com algum aineq0.

Passo 2

Escrevendo a combinação homogênea coordenada a coordenada:
a1(1,0,0,1) + a2(0,-1,-1,-2) + a3(0,0,1,1) + a4(0,2,1,3) = (0,0,0,0)
Isso gera o sistema
a1 = 0, -,a2 + 2,a4 = 0, -,a2 + a3 + a4 = 0, -2,a2 + a3 + 3,a4 = 0
Da primeira equação vem ,a1=0.
Da segunda ,a2=2a4. Substituindo na terceira:
-2a4 + a3 + a4 =0 Longrightarrow a3 = a4
A quarta equação fica então redundante (vira 0=0), mostrando que a4 é livre.

Passo 3

Como a4 pode ser escolhido diferente de zero (por exemplo a4=1 a2=2, a3=1, a1=0), existe uma combinação não trivial
2,v2 + 1,v3 + 1,v4 = 0
Logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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