Verifique se os conjuntos W abaixo, constituem ou não um subespaço de V , nos seguintes casos:
03) \mathrm{V}=\square^{2}, \mathrm{~W}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): \mathrm{y}=-\mathrm{x}\}, isto é W , consiste nos vetores cuja segunda componente é o oposto da primeira.

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V = \mathbb{R}^2 e o subconjunto
W = \{(x,y)\mid y=-x\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos a definição:
  1. W deve conter o vetor zero.
  2. W deve ser fechado sob adição.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero pertence a W. O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Substituindo em y=-x obtemos
0 = -0,
que é verdadeiro. Portanto (0,0)\in W.

Passo 3

Verificamos a adição. Tomemos
w_1 = (x_1,-x_1)\in W,\quad w_2 = (x_2,-x_2)\in W.
Então
w_1 + w_2 = (x_1 + x_2,\,-x_1 - x_2) = (x_1 + x_2,\,-(x_1 + x_2)),
que está em W pois sua segunda componente é o oposto da primeira.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
w = (x,-x)\in W.
Então
\alpha w = (\alpha x,\,-\alpha x) = (\alpha x,\,-(\alpha x)),
que também satisfaz a relação y=-x, logo \alpha w\in W.

Resposta

W é subespaço de V.

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