Verifique se os conjuntos W abaixo, constituem ou não um subespaço de V , nos seguintes casos:
05)
, isto é W , consiste nos vetores cuja segunda componente é a soma da primeira com 1 .
05)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
fazem de
um subespaço de
. O assunto é teoria de espaços vetoriais, mais especificamente o conceito de subespaço.
Passo 2
Lembrando a definição: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço de
se, e somente se, satisfaz três condições simultâneas:
Passo 3
Verificamos primeiro se o vetor zero
pertence a
. Como em
temos sempre
, para
teríamos
, logo
.
Passo 4
Mesmo já bastando falhar a condição do vetor zero, podemos ver que
também não é fechado sob soma. Tomemos
Então
Para estar em
precisaria que a segunda componente fosse
, mas aqui ela é
. Falha a clausura em soma.
Passo 5
Também não há clausura em multiplicação escalar. Para
e
,
Para pertencer a
precisaríamos
, o que só vale se
. Portanto, não é fechado para escalares em geral.