Verifique se os conjuntos W abaixo, constituem ou não um subespaço de V , nos seguintes casos:
05) V=\Pi^{2}, ~W=\{(x, y): y=x+1\}, isto é W , consiste nos vetores cuja segunda componente é a soma da primeira com 1 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \Pi^{2}\quad\text{e}\quad W = \{(x,y)\in\Pi^{2}:y = x+1\}
fazem de W um subespaço de V. O assunto é teoria de espaços vetoriais, mais especificamente o conceito de subespaço.

Passo 2

Lembrando a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço de V se, e somente se, satisfaz três condições simultâneas:
\text{(i) }\mathbf{0}\in W,\quad \text{(ii) }\forall u,v\in W:\;u+v\in W, \quad \text{(iii) }\forall u\in W,\;\forall \alpha\in\mathbb{R}:\;\alpha\,u\in W.

Passo 3

Verificamos primeiro se o vetor zero \mathbf{0}=(0,0) pertence a W. Como em W temos sempre y=x+1, para x=0 teríamos y=0+1=1, logo (0,0)\notin W.

Passo 4

Mesmo já bastando falhar a condição do vetor zero, podemos ver que W também não é fechado sob soma. Tomemos
u=(x_{1},x_{1}+1)\in W,\quad v=(x_{2},x_{2}+1)\in W.
Então
u+v = (x_{1}+x_{2},\;(x_{1}+1)+(x_{2}+1)) = (x_{1}+x_{2},\;x_{1}+x_{2}+2).
Para estar em W precisaria que a segunda componente fosse (x_{1}+x_{2})+1, mas aqui ela é (x_{1}+x_{2})+2. Falha a clausura em soma.

Passo 5

Também não há clausura em multiplicação escalar. Para u=(x,x+1)\in W e \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha(x+1)) = (\alpha x,\;\alpha x+\alpha).
Para pertencer a W precisaríamos \alpha x+\alpha = \alpha x + 1, o que só vale se \alpha=1. Portanto, não é fechado para escalares em geral.

Resposta

W NÃO é subespaço de V, pois não contém o vetor zero e falha as condições de fechamento em soma e em multiplicação por escalar.

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