Verifique se os conjuntos W abaixo, constituem ou não um subespaço de V , nos seguintes casos:
02) V=\square^{3}, ~W=\{(a, b, c): a+b+c=0\}, isto é W , consiste naqueles vetores cada um dos quais com a propriedade que a soma de sua componentes é zero.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W\subseteq V é subespaço, onde
V = \mathbb{R}^3
e
W = \{(a,b,c)\mid a + b + c = 0\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades básicas da teoria de espaços vetoriais: conter o vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a W. O vetor zero é (0,0,0). Como
0 + 0 + 0 = 0,
segue que (0,0,0)\in W.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Sejam
u = (a_1,b_1,c_1)\in W \quad\text{e}\quad v = (a_2,b_2,c_2)\in W.
Pelo fato de u,v\in W, temos
a_1 + b_1 + c_1 = 0 \quad\text{e}\quad a_2 + b_2 + c_2 = 0.
Então
u+v = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2)
e a soma das componentes resulta em
(a_1+a_2)+(b_1+b_2)+(c_1+c_2) =(a_1+b_1+c_1)+(a_2+b_2+c_2) =0+0=0.
Logo u+v\in W, o que mostra o fechamento sob adição.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = (a,b,c)\in W,
isto é, a+b+c=0. Então
\alpha\,u = (\alpha a,\;\alpha b,\;\alpha c)
e a soma das componentes é
\alpha a + \alpha b + \alpha c = \alpha\,(a+b+c) = \alpha\cdot 0 =0.
Portanto \alpha u\in W, mostrando o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^3.

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