Verificar se são L.I ou L.D os seguintes conjuntos:
\left\{1+2 \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2}, 2-\mathrm{x}+3 \mathrm{x}^{2}, 3-4 \mathrm{x}+7 \mathrm{x}^{2}\right\} \subset \mathrm{P}_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios em \mathrm{P}_{2}:
p_{1}(x)=1+2x-x^{2},\quad p_{2}(x)=2-x+3x^{2},\quad p_{3}(x)=3-4x+7x^{2},
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). Vamos usar a definição: verificar se existe combinação linear não-trivial que dê o polinômio nulo.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)+c\,p_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x.
Escrevendo essa combinação e igualando coeficientes, temos
a(1+2x-x^{2})+b(2-x+3x^{2})+c(3-4x+7x^{2})\equiv0.
Isso gera o sistema homogêneo nos coeficientes de 1, x e x^{2}:
\begin{cases} a+2b+3c=0,\\\\ 2a - b - 4c=0,\\\\ -\,a +3b+7c=0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema, de a+2b+3c=0 vem a=-2b-3c. Substituindo em 2a - b -4c=0
2(-2b-3c)-b-4c=0 \Longrightarrow -5b-10c=0 \Longrightarrow b=-2c.
Logo a=-2(-2c)-3c=4c-3c=c. Verificamos em -a+3b+7c=0:
- c+3(-2c)+7c=0,
que é satisfeito. Assim há solução não-trivial (a,b,c)=\bigl(c,-2c,c\bigr), c\neq0.

Passo 4

Como encontramos uma solução não-trivial, os polinômios são linearmente dependentes. A relação explicita, tomando c=1, é
p_{1}(x)-2\,p_{2}(x)+p_{3}(x)\equiv0.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (L.D.).

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