Mostre que o vetor (2,3,5) é combinação linear dos vetores (1,1,1),(1,1,0) e (1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor (2,3,5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,1,1), (1,1,0) e (1,0,0).
As informações dadas são os três vetores geradores:
v_1 = (1,1,1),\qquad v_2 = (1,1,0),\qquad v_3 = (1,0,0),
e o vetor alvo
w = (2,3,5).
A pergunta é: existem escalares (números) a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = w\\ ?

Passo 2

Vamos traduzir a ideia de combinação linear de forma explícita e simples. Dizer que w é combinação linear de v_1,v_2,v_3 significa que existem números a,b,c tais que, componente a componente,
a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (2,3,5).
Escrevendo as componentes separadamente: a primeira componente do lado esquerdo é a+b+c, a segunda é a+b e a terceira é a. Portanto os números a,b,c devem satisfazer um sistema de equações obtido ao igualar componente a componente.

Passo 3

Escrevendo o sistema de equações obtido pela igualdade de componentes:
\begin{cases} a + b + c = 2,\\[4pt] a + b = 3,\\[4pt] a = 5. \end{cases}
Vou explicar por que isso funciona: a terceira componente do produto a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0) é exatamente a (porque só v_1 tem terceira componente diferente de zero), então já temos a=5. A segunda componente é a+b e deve ser igual a 3. A primeira é a+b+c e deve ser igual a 2.]

Passo 4

Resolvendo o sistema por substituição, começando pela equação que já nos deu a:
a = 5.
Agora usamos a segunda equação a+b=3. Substituindo a=5,
5 + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = 3 - 5 = -2.

Passo 5

Finalmente usamos a primeira equação a+b+c=2. Substituindo a=5 e b=-2,
5 + (-2) + c = 2 \quad\Rightarrow\quad 3 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad c = 2 - 3 = -1.

Passo 6

Verificação final (sempre faça isso na prova para evitar erro de sinal): calcular a combinação com os coeficientes encontrados:
5(1,1,1) + (-2)(1,1,0) + (-1)(1,0,0) = (5-2-1,\;5-2+0,\;5+0+0) = (2,3,5),
que é exatamente w. Portanto a conta bate certinho.

Resposta

(2,3,5) = 5(1,1,1) -2(1,1,0) -1(1,0,0)

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