Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações dadas, formam um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais.
O conjunto dos polinômios P=\left\{a x+b x^{2}+c x^{3}, a, b c \in \mathbb{R}\right\} com as operações usuais;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto P com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. As informações dadas são:
P=\{a x + b x^{2} + c x^{3} \mid a,b,c \in \mathbb{R}\},
com adição e multiplicação por escalar sendo as operações usuais de polinômios.
As perguntas que temos que responder são: “Esse conjunto P, com essas operações, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?” (Se sim, explicar por quê; se não, justificar qual axioma falha.)

Passo 2

Estratégia (explicada de forma prática): em provas é comum usar o teste de subespaço vetorial porque é mais curto e direto. A ideia é que se P é um subconjunto não vazio de um espaço vetorial maior e está fechado por soma e por multiplicação por escalares, então P é um subespaço vetorial (portanto um espaço vetorial por si só). Vou aplicar esse teste aqui. Vou também mostrar explicitamente como obter o vetor nulo e o inverso aditivo, porque são coisas que costumam cair na prova.
Breve lembrete do que significam os termos (para você decorar e aplicar na prova):
  • “Fechado por soma” significa: se p,q \in P então p+q \in P.
  • “Fechado por multiplicação por escalar” significa: se p \in P e \lambda \in \mathbb{R} então \lambda p \in P.
  • Se essas duas propriedades valem e P não é vazio, então P herda os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de 0 e de inverso aditivo, distributividades, etc.) do espaço de onde veio (aqui, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais).

Passo 3

Verificar que P não é vazio (existe o vetor zero dentro de P).
O polinômio nulo (vetor zero) é
0(x)=0\;=\;0\cdot x + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3}.
Como 0,0,0 \in \mathbb{R}, segue que 0(x)\in P. Logo P é não vazio.

Passo 4

Fechamento por soma (mostro passo a passo como fazer na prova).
Sejam
p(x)=a_{1}x + b_{1}x^{2} + c_{1}x^{3}\quad\text{e}\quad q(x)=a_{2}x + b_{2}x^{2} + c_{2}x^{3},
com a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\in\mathbb{R} (essas são exatamente as formas dos elementos de P). A soma é
p(x)+q(x) = (a_{1}+a_{2})x + (b_{1}+b_{2})x^{2} + (c_{1}+c_{2})x^{3}.
Como somas de reais são reais, temos a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,c_{1}+c_{2}\in\mathbb{R}. Portanto p+q tem a mesma forma geral de elementos de P, isto é p+q\in P. Assim P é fechado por adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar (mostro como justificar rápido na prova).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e p(x)=ax + bx^{2} + cx^{3}\in P. Então
\lambda p(x) = (\lambda a)x + (\lambda b)x^{2} + (\lambda c)x^{3}.
Como produto de reais é real, \lambda a,\,\lambda b,\,\lambda c\in\mathbb{R}. Logo \lambda p tem a forma dos elementos de P, então \lambda p\in P. Assim P é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Existência do inverso aditivo (padrão em provas): podemos obter o inverso de qualquer p\in P usando \lambda=-1 no item anterior. Mais explicitamente, para p(x)=ax+bx^{2}+cx^{3} temos
-p(x)=(-a)x+(-b)x^{2}+(-c)x^{3}\in P,
porque -a,-b,-c\in\mathbb{R}. Portanto todo elemento tem inverso aditivo em P.

Passo 7

Conclusão e comentários adicionais úteis para a prova (bônus que pode aparecer em enunciados): como P é não vazio e está fechado por soma e por multiplicação por escalar, P é um subespaço do espaço dos polinômios com coeficientes reais. Portanto, P é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Além disso, uma observação prática que costuma cair: P é exatamente o subespaço gerado por \{x, x^{2}, x^{3}\}. Ou seja,
P=\text{span}\{x,x^{2},x^{3}\}.
Esses vetores são linearmente independentes (pois uma combinação \alpha x + \beta x^{2} + \gamma x^{3}=0 para todo x força \alpha=\beta=\gamma=0), então formam uma base de P. Logo \dim P = 3. Isso é útil porque contrasta com conjuntos que teriam constantes ou termos de grau maior/menor.

Resposta

Sim. P é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}; mais precisamente P=\text{span}\{x,x^{2},x^{3}\} e \dim P=3.

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