Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações dadas, formam um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais.
O conjunto dos polinômios
com as operações usuais;
O conjunto dos polinômios
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com as operações usuais forma um espaço vetorial sobre
. As informações dadas são:
com adição e multiplicação por escalar sendo as operações usuais de polinômios.
As perguntas que temos que responder são: “Esse conjunto , com essas operações, é um espaço vetorial sobre
?” (Se sim, explicar por quê; se não, justificar qual axioma falha.)
As perguntas que temos que responder são: “Esse conjunto
Passo 2
Estratégia (explicada de forma prática): em provas é comum usar o teste de subespaço vetorial porque é mais curto e direto. A ideia é que se
é um subconjunto não vazio de um espaço vetorial maior e está fechado por soma e por multiplicação por escalares, então
é um subespaço vetorial (portanto um espaço vetorial por si só). Vou aplicar esse teste aqui. Vou também mostrar explicitamente como obter o vetor nulo e o inverso aditivo, porque são coisas que costumam cair na prova.
Breve lembrete do que significam os termos (para você decorar e aplicar na prova):
- “Fechado por soma” significa: se
então . - “Fechado por multiplicação por escalar” significa: se
e então . - Se essas duas propriedades valem e
não é vazio, então herda os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de 0 e de inverso aditivo, distributividades, etc.) do espaço de onde veio (aqui, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais).
Passo 3
Verificar que
não é vazio (existe o vetor zero dentro de
).
O polinômio nulo (vetor zero) é
O polinômio nulo (vetor zero) é
Como
, segue que
. Logo
é não vazio.
Passo 4
Fechamento por soma (mostro passo a passo como fazer na prova).
Sejam
Sejam
com
(essas são exatamente as formas dos elementos de
). A soma é
Como somas de reais são reais, temos
. Portanto
tem a mesma forma geral de elementos de
, isto é
. Assim
é fechado por adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar (mostro como justificar rápido na prova).
Seja e
. Então
Seja
Como produto de reais é real,
. Logo
tem a forma dos elementos de
, então
. Assim
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Existência do inverso aditivo (padrão em provas): podemos obter o inverso de qualquer
usando
no item anterior. Mais explicitamente, para
temos
porque
. Portanto todo elemento tem inverso aditivo em
.
Passo 7
Conclusão e comentários adicionais úteis para a prova (bônus que pode aparecer em enunciados): como
é não vazio e está fechado por soma e por multiplicação por escalar,
é um subespaço do espaço dos polinômios com coeficientes reais. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.
Além disso, uma observação prática que costuma cair:
é exatamente o subespaço gerado por
. Ou seja,
Esses vetores são linearmente independentes (pois uma combinação
para todo
força
), então formam uma base de
. Logo
. Isso é útil porque contrasta com conjuntos que teriam constantes ou termos de grau maior/menor.
Resposta
Sim.
é um espaço vetorial sobre
; mais precisamente
e
.