Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
\left{x^{2}+x+1,3 x{2}-x+1,-x{2}+3 x+1\right} \subset P_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
,p1(x)=x^2+x+1,;p2(x)=3x^2-x+1,;p3(x)=-x^2+3x+1subset P2(R)
e pede para verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o critério de combinação linear nula em P2(R):
c1p1(x)+c2p2(x)+c3p3(x)equiv0
tem somente a solução trivial c1=c2=c3=0 se, e somente se, o conjunto for linearmente independente.

Passo 2

Representamos cada polinômio pela tupla de coeficientes na base x^2,x,1:
p1mapsto(1,,1,,1), p2mapsto(3,,-1,,1), p3mapsto(-1,,3,,1)
A condição
c1(1,1,1)+c2(3,-1,1)+c3(-1,3,1)=(0,0,0)
gera o sistema homogêneo de equações lineares em c1,c2,c3.

Passo 3

Escrevendo o sistema pela igualdade de coeficientes:
c1+3c2 -c3 = 0, c1 -c2 +3c3 = 0, c1 +c2 + c3 = 0
Podemos escrever a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante:
det 1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 1 & 1 & 1 = 1 & 3 & -1 1 & -1 & 3 1 & 1 & 1

Passo 4

Calculando o determinante por expansão de Laplace:
det &=1cdotdet!-1 & 31 & 1 -3cdotdet!1 & 31 & 1 +(-1)cdotdet!1 & -11 & 1 &=1cdot(-1cdot1-3cdot1) -3cdot(1cdot1-3cdot1) -1cdot(1cdot1-(-1)cdot1) &=(-4)-3cdot(-2)-1cdot(2) =-4+6-2=0
Como o determinante é zero, o sistema admite solução não trivial. Alternativamente, encontramos diretamente
p2(x)+p3(x)-2,p1(x)=0,
ou seja, p2+p3=2,p1.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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