Verifique se a função
dada por
define um produto interno sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
de polinômios de grau
sobre
e define uma aplicação
Para ser produto interno, essa aplicação deve satisfazer três propriedades em todo
e todo escalar
:
. Simetria:
.
. Bilinearidade (linear em cada argumento).
. Positividade definida:
com igualdade só para
.
Passo 2
Verificamos simetria e bilinearidade. Seja
Então
logo é simétrica. Para linearidade em
,
Logo é bilinear (o argumento em
é análogo).
Passo 3
Agora a positividade definida. Para todo
,
No entanto, se escolhermos
(ou seja
,
,
), então
mas
Isso mostra que a igualdade
pode ocorrer mesmo com
, violando a positividade definida.
Resposta
A aplicação não define um produto interno em
, pois falha na condição de positividade definida.