Verifique se a função lang<=cdot, cdotrang<=: P2(R) times P2(R) R dada por
lang<= a2 x^2+a1 x+a0, b2 x^2+b1 x+b0rang<==a2 b2+a1 b1
define um produto interno sobre P2(R).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P2(R) de polinômios de grau <=2 sobre R e define uma aplicação
llang<= a2x^2+a1x+a0,,b2x^2+b1x+b0rrang<= = a2b2+a1b1
Para ser produto interno, essa aplicação deve satisfazer três propriedades em todo p,q,rin P2(R) e todo escalar lambdainR:
1. Simetria: lang<= p,qrang<==lang<= q,prang<=.
2. Bilinearidade (linear em cada argumento).
3. Positividade definida: lang<= p,prang<=>=0 com igualdade só para p=0.

Passo 2

Verificamos simetria e bilinearidade. Seja
p(x)=a2x^2+a1x+a0, r(x)=c2x^2+c1x+c0, q(x)=b2x^2+b1x+b0
Então
lang<= p,qrang<= = a2b2+a1b1 = b2a2+b1a1 = lang<= q,prang<=,
logo é simétrica. Para linearidade em p,
lang<= lambda p + r,,qrang<= = (lambda a2+c2)b2+(lambda a1+c1)b1 =lambda(a2b2+a1b1)+(c2b2+c1b1) =lambdalang<= p,qrang<=+lang<= r,qrang<=
Logo é bilinear (o argumento em q é análogo).

Passo 3

Agora a positividade definida. Para todo p(x)=a2x^2+a1x+a0,
lang<= p,prang<= = a2^2+a1^2>=0
No entanto, se escolhermos p(x)=1 (ou seja a2=0, a1=0, a0=1), então pneq0 mas
lang<= p,prang<= = 0^2+0^2=0
Isso mostra que a igualdade lang<= p,prang<==0 pode ocorrer mesmo com pneq0, violando a positividade definida.

Resposta

A aplicação não define um produto interno em P2(R), pois falha na condição de positividade definida.

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