Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo.
W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2) ; b \leq 0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\;:\; b\leq 0\right\},
com as operações usuais em M(2,2). A pergunta é: W é um subespaço vetorial de M(2,2)? Se a resposta for não, devo fornecer um contra‑exemplo. Aqui as entradas a,b,c,d e os escalares são números reais.]

Passo 2

Lembrete prático (o que é preciso checar): um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. W não é vazio (por exemplo contém a matriz zero);
  2. W é fechado sob soma: se X\in W e Y\in W então X+Y\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se X\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda X\in W.
Vou verificar cada propriedade com calma e exemplos simples.

Passo 3

Verificação de não vazio / presença do elemento neutro aditivo: a matriz nula
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
tem segunda entrada da primeira linha (b=0), e 0\leq 0. Logo 0\in W. Portanto W não é vazio e contém o elemento neutro.]

Passo 4

Verificação de fechamento por soma: seja
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[4pt] c_1 & d_1\end{pmatrix}\in W,\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[4pt] c_2 & d_2\end{pmatrix}\in W,
ou seja \,b_1\leq 0 e \,b_2\leq 0. A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt] c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Como a soma de dois números não positivos é não positiva, temos b_1+b_2\leq 0. Portanto X+Y\in W. Logo W é fechado sob soma.]

Passo 5

Verificação de fechamento por multiplicação por escalar (a parte crucial): seja
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in W,
portanto b\leq 0. Considere um escalar \lambda\in\mathbb{R}. O produto escalar é
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix},
e a condição para \lambda X\in W seria \lambda b\leq 0. Isso nem sempre ocorre: se b<0 e \lambda<0, então \lambda b>0, violando a condição. Vamos dar um contra‑exemplo explícito e simples.]

Passo 6

Contra‑exemplo explícito: escolha
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui b=-1\leq 0, então A\in W. Tome o escalar \lambda=-1. Então
\lambda A = -1\cdot\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora a segunda entrada da primeira linha é 1>0, logo \lambda A\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 7

Observação adicional: a falha acima também mostra que, para A com b<0, o inverso aditivo -A tem -b>0 e assim -A\notin W. Ou seja, W não contém inversos aditivos de todos os seus elementos, outro modo de ver que não é subespaço.

Resposta

Não; por exemplo \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in W mas -1\cdot\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\notin W.]

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