Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações usuais em
. A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
? Se a resposta for não, devo fornecer um contra‑exemplo. Aqui as entradas
e os escalares são números reais.]
Passo 2
Lembrete prático (o que é preciso checar): um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial se, e somente se,
-
não é vazio (por exemplo contém a matriz zero); -
é fechado sob soma: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou verificar cada propriedade com calma e exemplos simples.
Passo 3
Verificação de não vazio / presença do elemento neutro aditivo: a matriz nula
tem segunda entrada da primeira linha
, e
. Logo
. Portanto
não é vazio e contém o elemento neutro.]
Passo 4
Verificação de fechamento por soma: seja
ou seja
e
. A soma é
Como a soma de dois números não positivos é não positiva, temos
. Portanto
. Logo
é fechado sob soma.]
Passo 5
Verificação de fechamento por multiplicação por escalar (a parte crucial): seja
portanto
. Considere um escalar
. O produto escalar é
e a condição para
seria
. Isso nem sempre ocorre: se
e
, então
, violando a condição. Vamos dar um contra‑exemplo explícito e simples.]
Passo 6
Contra‑exemplo explícito: escolha
Aqui
, então
. Tome o escalar
. Então
Agora a segunda entrada da primeira linha é
, logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 7
Observação adicional: a falha acima também mostra que, para
com
, o inverso aditivo
tem
e assim
. Ou seja,
não contém inversos aditivos de todos os seus elementos, outro modo de ver que não é subespaço.
Resposta
Não; por exemplo
mas
.]