Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
(um subconjunto de
) e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
em relação à soma e multiplicação por escalar usuais.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Todo vetor em
tem a forma com .
O que devo responder: - Determinar se
é ou não subespaço de . - Se não for, apresentar um contraexemplo explícito.
Passo 2
Definição e critérios (explicação didática, passo a passo).
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e só se as três condições a seguir forem satisfeitas:
Um subconjunto
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor nulo). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada item de forma bem simples:
- “Contém o vetor nulo” quer dizer que o vetor
(o zero de ) precisa estar em . Se não estiver, já não pode ser subespaço. - “Fechado sob soma” significa: não dá para somar dois vetores de
e sair do conjunto. - “Fechado sob escalares” significa: multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real não pode produzir algo fora do conjunto.
Um teste rápido útil: se o vetor nulo não está em
, então
não é subespaço (teste do vetor zero).
Passo 3
Aplicando o teste do vetor nulo a
.
Qual é o vetor nulo em ? É
.
Todo vetor de tem a primeira coordenada igual a
. Logo, nenhum vetor de
pode ter primeira coordenada
. Em particular,
Qual é o vetor nulo em
Todo vetor de
Portanto
não contém o vetor nulo e, por isso, não pode ser subespaço de
.
Passo 4
Fornecendo um contraexemplo explícito (uso do fato acima de forma construtiva).
Escolha um vetor em , por exemplo
Escolha um vetor em
Multiplicando
pelo escalar
(que deve mandar qualquer vetor para o vetor nulo se o conjunto fosse subespaço), obtém-se
Mas já vimos que
. Assim
não é fechado por multiplicação por escalar (nem contém o nulo). Esse é um contraexemplo simples e definitivo.
Passo 5
Contraexemplo adicional (opcional, mostra falha na soma).
Tomemos dois vetores de ,
Tomemos dois vetores de
Somando:
Como a primeira coordenada passou a ser
(e não
), tem-se
. Logo
não é fechado sob soma. Mais uma razão que confirma que
não é subespaço.
Passo 6
Interpretação final e dica prática amigável.
Intuitivamente, é o plano paralelo ao plano coordenado
(o plano formado por vetores
), mas deslocado para o lugar onde a primeira coordenada vale
. Deslocamentos assim quebram a propriedade de conter o zero e a linearidade; por isso conjuntos definidos por “primeira coordenada igual a uma constante não nula” não são subespaços. Se a constante fosse
(isto é, conjunto
), aí sim seria subespaço isomorfo a
.
Intuitivamente,
Resposta
Não; por exemplo
mas
, portanto
não é subespaço de
.