Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo.
W=\{(1, x, y) ; x, y \in R\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W=\{(1,x,y)\;;\;x,y\in\mathbb{R}\} (um subconjunto de \mathbb{R}^3) e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 em relação à soma e multiplicação por escalar usuais.
Informações dadas:
  • Todo vetor em W tem a forma (1,x,y) com x,y\in\mathbb{R}.
    O que devo responder:
  • Determinar se W é ou não subespaço de \mathbb{R}^3.
  • Se não for, apresentar um contraexemplo explícito.

Passo 2

Definição e critérios (explicação didática, passo a passo).
Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e só se as três condições a seguir forem satisfeitas:
  1. S não é vazio (equivalente: contém o vetor nulo).
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c u\in S.
Explicando cada item de forma bem simples:
  • “Contém o vetor nulo” quer dizer que o vetor (0,0,0) (o zero de \mathbb{R}^3) precisa estar em S. Se não estiver, S já não pode ser subespaço.
  • “Fechado sob soma” significa: não dá para somar dois vetores de S e sair do conjunto.
  • “Fechado sob escalares” significa: multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real não pode produzir algo fora do conjunto.
Um teste rápido útil: se o vetor nulo não está em S, então S não é subespaço (teste do vetor zero).

Passo 3

Aplicando o teste do vetor nulo a W.
Qual é o vetor nulo em \mathbb{R}^3? É (0,0,0).
Todo vetor de W tem a primeira coordenada igual a 1. Logo, nenhum vetor de W pode ter primeira coordenada 0. Em particular,
(0,0,0)\notin W.
Portanto W não contém o vetor nulo e, por isso, não pode ser subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Fornecendo um contraexemplo explícito (uso do fato acima de forma construtiva).
Escolha um vetor em W, por exemplo
v=(1,0,0)\in W.
Multiplicando v pelo escalar 0 (que deve mandar qualquer vetor para o vetor nulo se o conjunto fosse subespaço), obtém-se
0\cdot v = 0\cdot(1,0,0) = (0,0,0).
Mas já vimos que (0,0,0)\notin W. Assim W não é fechado por multiplicação por escalar (nem contém o nulo). Esse é um contraexemplo simples e definitivo.

Passo 5

Contraexemplo adicional (opcional, mostra falha na soma).
Tomemos dois vetores de W,
u=(1,1,0)\in W,\qquad w=(1,-1,0)\in W.
Somando:
u+w=(1,1,0)+(1,-1,0)=(2,0,0).
Como a primeira coordenada passou a ser 2 (e não 1), tem-se (2,0,0)\notin W. Logo W não é fechado sob soma. Mais uma razão que confirma que W não é subespaço.

Passo 6

Interpretação final e dica prática amigável.
Intuitivamente, W é o plano paralelo ao plano coordenado x_1=0 (o plano formado por vetores (0,x,y)), mas deslocado para o lugar onde a primeira coordenada vale 1. Deslocamentos assim quebram a propriedade de conter o zero e a linearidade; por isso conjuntos definidos por “primeira coordenada igual a uma constante não nula” não são subespaços. Se a constante fosse 0 (isto é, conjunto \{(0,x,y)\}), aí sim seria subespaço isomorfo a \mathbb{R}^2.

Resposta

Não; por exemplo (1,0,0)\in W mas 0\cdot(1,0,0)=(0,0,0)\notin W, portanto W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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