Seja o conjunto W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a, b, c, d \in R\right\}, isto é, o conjunto das matrizes de ordem 2 \times 2. Mostre que W é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definida abaixo:
+:\left[\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\\ c_{2} & d_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2} & b_{1}+b_{2} \\\ c_{1}+c_{2} & d_{1}+d_{2}\end{array}\right]
\cdot \alpha \cdot\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\alpha \cdot a & \alpha \cdot b \\\ \alpha \cdot c & \alpha \cdot d\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W e as operações e pede para mostrar que W é um espaço vetorial. Dados extraídos do enunciado:
  • O conjunto é W=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} ;\\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}.
  • A soma entre A_1=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & d_1\end{pmatrix} e A_2=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & d_2\end{pmatrix} está definida por
A_1 + A_2 = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
  • A multiplicação por escalar \alpha\in\mathbb{R} é dada por
\alpha\cdot A = \begin{pmatrix}\alpha a & \alpha b \\\ \alpha c & \alpha d\end{pmatrix}
para A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
O que é pedido: provar, passo a passo, que com essas operações W satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete (aula curtinha sobre o que é preciso mostrar).
Um conjunto V com operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se satisfaz os seguintes axiomas (vou enunciar em forma simples; depois verificamos um por um para W):
  1. (Fechamento da soma) Para todo u,v\in V, u+v\in V.
  2. (Comutatividade) u+v=v+u.
  3. (Associatividade da soma) (u+v)+w=u+(v+w).
  4. (Existência do elemento neutro aditivo) Existe 0\in V tal que u+0=u para todo u.
  5. (Existência de inverso aditivo) Para todo u existe -u\in V com u+(-u)=0.
  6. (Fechamento da multiplicação por escalar) Para todo \alpha\in\mathbb{R} e u\in V, \alpha u\in V.
  7. (Distributividade do escalar em relação à soma de vetores) \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v.
  8. (Distributividade em relação à soma de escalares) (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u.
  9. (Associatividade dos escalares) (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u).
  10. (Elemento identidade do campo) 1\cdot u = u.
    Vou verificar cada um desses axiomas para W. Em todas as verificações vou usar apenas propriedades básicas dos números reais (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de 0, existência de inverso aditivo, distributividade e que 1 é identidade multiplicativa). Essas propriedades são válidas componente a componente.

Passo 3

Fechamento da soma.
Sejam
A_1=\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\\ c_1 & d_1\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}
com a_i,b_i,c_i,d_i\in\mathbb{R}. Pela definição da soma,
A_1+A_2=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Como a soma de reais é fechada, cada entrada a_1+a_2,\\ b_1+b_2,\\ c_1+c_2,\\ d_1+d_2 é um número real. Logo A_1+A_2\in W. Portanto há fechamento.

Passo 4

Comutatividade da soma.
Usando a definição da soma e a comutatividade da soma em \mathbb{R},
A_1+A_2=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_2+a_1 & b_2+b_1 \\\ c_2+c_1 & d_2+d_1\end{pmatrix}=A_2+A_1.
Assim A_1+A_2=A_2+A_1.

Passo 5

Associatividade da soma.
Se A_1,A_2,A_3\in W com entradas reais, então ao calcular (A_1+A_2)+A_3 e A_1+(A_2+A_3) obtemos, componente a componente, expressões da forma (a_1+a_2)+a_3 e a_1+(a_2+a_3). Pela associatividade da soma em \mathbb{R} esses termos são iguais. Logo
(A_1+A_2)+A_3 = A_1+(A_2+A_3),
ou seja, a soma é associativa em W.

Passo 6

Existência do elemento neutro aditivo (matriz zero).
Defina a matriz zero por
0_W := \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
onde os zeros são os elementos neutros aditivos em \mathbb{R}. Para qualquer A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
A + 0_W = \begin{pmatrix}a+0 & b+0 \\\ c+0 & d+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = A.
Portanto 0_W é o neutro aditivo de W.

Passo 7

Existência do inverso aditivo.
Para A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W defina
- A := \begin{pmatrix}-a & -b \\\\ -c & -d\end{pmatrix}.
Como cada -a,-b,-c,-d existe em \mathbb{R}, temos -A\in W. Além disso,
A + (-A) = \begin{pmatrix}a+(-a) & b+(-b) \\\ c+(-c) & d+(-d)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}=0_W.
Assim cada vetor tem o seu inverso aditivo.

Passo 8

Fechamento da multiplicação por escalar.
Se \alpha\in\mathbb{R} e A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W, então por definição
\alpha A = \begin{pmatrix}\alpha a & \alpha b \\\ \alpha c & \alpha d\end{pmatrix}.
Como o produto de dois reais é um real, cada entrada é real. Logo \alpha A\in W. Portanto fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 9

Distributividade do escalar em relação à soma de vetores.
Para \alpha\in\mathbb{R} e A_1,A_2\in W,
\alpha(A_1+A_2)=\alpha\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2 \\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha(a_1+a_2) & \alpha(b_1+b_2) \\\ \alpha(c_1+c_2) & \alpha(d_1+d_2)\end{pmatrix}.
Pela distributividade em \mathbb{R}, \alpha(a_1+a_2)=\alpha a_1+\alpha a_2, etc., logo
\alpha(A_1+A_2)=\begin{pmatrix}\alpha a_1+\alpha a_2 & \alpha b_1+\alpha b_2 \\\ \alpha c_1+\alpha c_2 & \alpha d_1+\alpha d_2\end{pmatrix} =\alpha A_1 + \alpha A_2.

Passo 10

Distributividade em relação à soma de escalares.
Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e A\in W,
(\alpha+\beta)A = \begin{pmatrix}(\alpha+\beta)a & (\alpha+\beta)b \\\ (\alpha+\beta)c & (\alpha+\beta)d\end{pmatrix}.
Pela distributividade em \mathbb{R} isso é
\begin{pmatrix}\alpha a + \beta a & \alpha b + \beta b \\\ \alpha c + \beta c & \alpha d + \beta d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha a & \alpha b \\\ \alpha c & \alpha d\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\beta a & \beta b \\\ \beta c & \beta d\end{pmatrix} = \alpha A + \beta A.

Passo 11

Associatividade dos escalares.
Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e A\in W,
(\alpha\beta)A = \begin{pmatrix}(\alpha\beta)a & (\alpha\beta)b \\\ (\alpha\beta)c & (\alpha\beta)d\end{pmatrix}.
Por associatividade da multiplicação em \mathbb{R},
(\alpha\beta)a = \alpha(\beta a),
e análogamente para as outras entradas. Assim
(\alpha\beta)A = \alpha(\beta A).

Passo 12

Elemento identidade multiplicativa do campo.
Para A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
1\cdot A = \begin{pmatrix}1\cdot a & 1\cdot b \\\\ 1\cdot c & 1\cdot d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=A,
pois 1 é a identidade multiplicativa em \mathbb{R}.

Passo 13

Resumo e conclusão pedagógica.
Mostramos, um por um, que W satisfaz fechamento sob soma e multiplicação por escalar, comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inversos aditivos, distributividades, associatividade dos escalares e identidade 1\cdot A=A. Todas as verificações usam apenas propriedades dos números reais aplicadas entrada por entrada (component-wise). Portanto W com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

W é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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