Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
; ordem);
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão (“ordem”). Vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor nulo, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar) e depois parametrizar
para achar uma base.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
pois, escolhendo
e
, temos
e
.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então
Na soma
temos
logo
também satisfaz as duas equações e pertence a
.
Passo 4
Para
e
com
e
, a multiplicação
satisfaz
portanto
.
Passo 5
Como
e
dependem de
e
, podemos tomar
e
como parâmetros livres. Escrevemos
Isso mostra que
é um sistema gerador de
e, como os vetores são linearmente independentes, formam uma base de
.
Passo 6
Como
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
. A base encontrada tem 2 vetores, logo