Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
S=(x, y, z, w) in R^4 ; w=3 x, y=5 x+3 z; ordem);

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z,w)inR^4 mid w=3x,;y=5x+3z
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^4 e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão (“ordem”). Vamos usar a definição de subespaço (conter o vetor nulo, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar) e depois parametrizar S para achar uma base.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a S pois, escolhendo x=0 e z=0, temos w=3cdot0=0 e y=5cdot0+3cdot0=0.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1,w1) e v=(x2,y2,z2,w2) em S. Então
w1=3x1,;y1=5x1+3z1, w2=3x2,;y2=5x2+3z2
Na soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2) temos
w1+w2 = 3x1 + 3x2 = 3(x1+x2), y1+y2 = (5x1+3z1)+(5x2+3z2) = 5(x1+x2)+3(z1+z2),
logo u+v também satisfaz as duas equações e pertence a S.

Passo 4

Para lambdainR e u=(x,y,z,w)in S com w=3x e y=5x+3z, a multiplicação lambda u=(lambda x,lambda y,lambda z,lambda w) satisfaz
lambda w = lambdacdot3x = 3(lambda x), lambda y = lambda(5x+3z) = 5(lambda x)+3(lambda z),
portanto lambda uin S.

Passo 5

Como w e y dependem de x e z, podemos tomar x e z como parâmetros livres. Escrevemos
(x,y,z,w) = l(x,;5x+3z,;z,;3xr) = x,(1,5,0,3) ;+; z,(0,3,1,0)
Isso mostra que (1,5,0,3),,(0,3,1,0) é um sistema gerador de S e, como os vetores são linearmente independentes, formam uma base de S.

Passo 6

Como S contém o vetor nulo, é fechado sob soma e escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de R^4. A base encontrada tem 2 vetores, logo
dim S = 2

Resposta

S é subespaço vetorial de R^4 e dim S = 2.

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