Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
W=(x, y, z, w) in R^4 ; z=x w ;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,w)inR^4 mid z = x,w
e pergunta se W é subespaço vetorial de R^4. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero está em W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero 0=(0,0,0,0). Como z=0 e x,w=0cdot0=0, temos
(0,0,0,0)in W
Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Testamos a soma. Se u=(x1,y1,z1,w1) e v=(x2,y2,z2,w2) estão em W, então
z1 = x1w1, z2 = x2w2
Mas u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2) exige
z1+z2 stackrel?= (x1+x2)(w1+w2)
em geral isso falha por existirem termos cruzados x1w2+x2w1. Por exemplo, tome
u=(1,0,1,1), v=(1,0,1,1)
Cada um está em W porque 1 = 1cdot1. Mas
u+v = (2,0,2,2)
e aí 2 neq 2cdot2 = 4, ou seja u+vnotin W.

Passo 4

Basta falhar numa das propriedades para concluir que W não é subespaço. Não precisamos nem testar multiplicação escalar, pois a falha no fechamento pela soma já é decisiva.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^4.

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