Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Para isso precisamos checar três propriedades:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
. Como
e
, temos
Logo, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Testamos a soma. Se
e
estão em
, então
Mas
exige
em geral isso falha por existirem termos cruzados
. Por exemplo, tome
Cada um está em
porque
. Mas
e aí
, ou seja
.
Passo 4
Basta falhar numa das propriedades para concluir que
não é subespaço. Não precisamos nem testar multiplicação escalar, pois a falha no fechamento pela soma já é decisiva.