Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
W=(x, y, z, w) in R^4 ; x=2 s, y=3 s, s in R;

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,w)inR^4 mid x=2s,;y=3s,;sinR,
sem restrição a z e w. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: para mostrar que W é subespaço de R^4, basta verificar que
  1. o vetor nulo está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo (0,0,0,0). Basta tomar s=0, z=0, w=0. Então
x=2cdot0=0, y=3cdot0=0,
logo (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento em relação à soma. Se
v1=(2s1,3s1,z1,w1)in W e v2=(2s2,3s2,z2,w2)in W,
então
v1+v2 = (2(s1+s2),,3(s1+s2),,z1+z2,,w1+w2)
Como s1+s2inR e z1+z2,,w1+w2inR, segue que v1+v2in W.

Passo 4

Fechamento em relação ao escalar. Para lambdainR e
v=(2s,3s,z,w)in W,
temos
lambda v = (2(lambda s),,3(lambda s),,lambda z,,lambda w),
onde lambda sinR e lambda z,lambda winR. Logo lambda vin W.

Passo 5

Como W contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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