Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.
V1=R^2, com as operações +: R^2 times R^2 R^2 e cdot: R times R^2 R^2 dadas por
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x22, y1+y22) e a cdot(x, y)=(a x, a y)

Passo 1

O enunciado pede para ver se V1=R^2, com a soma definida por
(x1,y1)+(x2,y2)=l(x1+x22,,y1+y22r)
e a multiplicação escalar usual
acdot(x,y)=(a x,a y),
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Vamos lembrar que um ponto crítico é a existência de elemento neutro em relação à soma, além da associatividade.

Passo 2

Suponha que exista um vetor neutro 0=(x0,y0) tal que, para todo (x,y)inR^2,
(x,y)+0 = (x,y)
Pelo definido,
(x,y)+ (x0,y0) =l(tfracx+x02,,tfracy+y02r) =(x,y)
Logo devemos ter
tfracx+x02=x Longrightarrow x+x0=2x Longrightarrow x0=x
para todo x. Isso é impossível, pois x0 não pode depender de x. O mesmo ocorre com y0. Portanto não existe elemento neutro para essa soma.

Passo 3

Sem elemento neutro a estrutura falha já num dos axiomas básicos de espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas: basta um contraexemplo.

Resposta

O conjunto V1 com as operações dadas não é um espaço vetorial.

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