Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.
, com as operações
e
dadas por
Passo 1
O enunciado pede para ver se
, com a soma definida por
e a multiplicação escalar usual
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Vamos lembrar que um ponto crítico é a existência de elemento neutro em relação à soma, além da associatividade.
Passo 2
Suponha que exista um vetor neutro
tal que, para todo
,
Pelo definido,
Logo devemos ter
para todo
. Isso é impossível, pois
não pode depender de
. O mesmo ocorre com
. Portanto não existe elemento neutro para essa soma.
Passo 3
Sem elemento neutro a estrutura falha já num dos axiomas básicos de espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas: basta um contraexemplo.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial.