Verifique se os conjuntos
a seguir são subanéis de
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subanel do anel
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O universo ambientador é
(os inteiros) com as operações usuais de adição e multiplicação. - O subconjunto a testar é
. - A pergunta é única: “A é subanel de
?”
Passo 2
Definição prática e critério que vamos usar (explicado passo a passo).
Uma forma simples e comum de checar se um subconjunto de um anel é subanel é verificar:
Uma forma simples e comum de checar se um subconjunto
-
é não vazio (ou contém algum elemento). -
é fechado sob subtração: para quaisquer , deve valer . -
é fechado sob multiplicação: para quaisquer , deve valer .
Por que esses três itens bastam? Vou explicar de forma bem direta:
- Se
é não vazio e fechado sob subtração, então pegando qualquer temos , então o elemento neutro aditivo está em . - Ainda com fechamento por subtração, para qualquer
temos , então todo elemento tem seu inverso aditivo em . - A adição fica garantida porque
e já temos e fechamento por subtração; portanto . - Se também houver fechamento por multiplicação, então
tem as operações necessárias para ser um subanel (não exigimos que o do anel ambientador esteja em , a menos que o enunciado peça “subanel com unidade”).
Assim, para decidir se
é subanel, vamos verificar os itens acima de forma direta.
Passo 3
Verificar que
é não vazio e contém
.
Observação: o enunciado já nos deu , então claramente
é não vazio e contém
.
Portanto o primeiro requisito está satisfeito.
Observação: o enunciado já nos deu
Portanto o primeiro requisito está satisfeito.
Passo 4
Verificar fechamento em multiplicação (mostrando as contas).
Vamos calcular os produtos possíveis entre elementos de . Como
tem só três elementos, dá para checar todos:
Vamos calcular os produtos possíveis entre elementos de
-
. Como , esse produto está em . -
. Como , esse produto está em . -
. Como , esse produto está em . -
. Está em . -
. Está em . -
. Está em .
Como todos os produtos entre elementos de
pertencem a
, concluímos que
é fechado sob multiplicação.
Passo 5
Verificar fechamento em subtração (mostrando as contas e buscando um contraexemplo).
Fechamento em subtração exige que para quaisquer tenhamos
. Vamos calcular algumas diferenças (novamente, com poucas possibilidades, listamos as mais relevantes):
Fechamento em subtração exige que para quaisquer
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Até aqui tudo bem. Mas agora veja isto:
-
.
E
não pertence a
, porque
só tem
. Logo encontramos um contraexemplo: para
e
com
, o valor
.
Isso basta para concluir que
não é fechado sob subtração.
Passo 6
Conclusão lógica final com base nas verificações:
-
é não vazio e contém . -
é fechado sob multiplicação. - Porém,
não é fechado sob subtração (exemplo: ).
Como o fechamento por subtração é necessário para ser subanel,
não é subanel de
.
Resposta
Não —
não é subanel de
.