Verifique se os conjuntos A a seguir são subanéis de (\mathbb{Z},+, \cdot) :
\{-1,0,1\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto A=\{-1,0,1\} é um subanel do anel \left(\mathbb{Z},+,\cdot\right).
Informações dadas:
  • O universo ambientador é \mathbb{Z} (os inteiros) com as operações usuais de adição e multiplicação.
  • O subconjunto a testar é A=\{-1,0,1\}.
  • A pergunta é única: “A é subanel de \mathbb{Z}?”

Passo 2

Definição prática e critério que vamos usar (explicado passo a passo).
Uma forma simples e comum de checar se um subconjunto S de um anel é subanel é verificar:
  1. S é não vazio (ou contém algum elemento).
  2. S é fechado sob subtração: para quaisquer x,y\in S, deve valer x-y\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação: para quaisquer x,y\in S, deve valer x\cdot y\in S.
Por que esses três itens bastam? Vou explicar de forma bem direta:
  • Se S é não vazio e fechado sob subtração, então pegando qualquer a\in S temos a-a=0\in S, então o elemento neutro aditivo 0 está em S.
  • Ainda com fechamento por subtração, para qualquer a\in S temos 0-a=-a\in S, então todo elemento tem seu inverso aditivo em S.
  • A adição fica garantida porque x+y = x - (-y) e já temos -y\in S e fechamento por subtração; portanto x+y\in S.
  • Se também houver fechamento por multiplicação, então S tem as operações necessárias para ser um subanel (não exigimos que o 1 do anel ambientador esteja em S, a menos que o enunciado peça “subanel com unidade”).
Assim, para decidir se A é subanel, vamos verificar os itens acima de forma direta.

Passo 3

Verificar que A é não vazio e contém 0.
Observação: o enunciado já nos deu A=\{-1,0,1\}, então claramente A é não vazio e contém 0.
Portanto o primeiro requisito está satisfeito.

Passo 4

Verificar fechamento em multiplicação (mostrando as contas).
Vamos calcular os produtos possíveis entre elementos de A. Como A tem só três elementos, dá para checar todos:
  • 1\cdot 1 = 1. Como 1\in A, esse produto está em A.
  • 1\cdot 0 = 0. Como 0\in A, esse produto está em A.
  • 1\cdot(-1) = -1. Como -1\in A, esse produto está em A.
  • 0\cdot 0 = 0. Está em A.
  • 0\cdot(-1) = 0. Está em A.
  • (-1)\cdot(-1) = 1. Está em A.
Como todos os produtos entre elementos de A pertencem a A, concluímos que A é fechado sob multiplicação.

Passo 5

Verificar fechamento em subtração (mostrando as contas e buscando um contraexemplo).
Fechamento em subtração exige que para quaisquer x,y\in A tenhamos x-y\in A. Vamos calcular algumas diferenças (novamente, com poucas possibilidades, listamos as mais relevantes):
  • 1-1 = 0\in A.
  • 0-0 = 0\in A.
  • (-1)-(-1)=0\in A.
  • 1-0 = 1\in A.
  • 0-1 = -1\in A.
  • (-1)-0 = -1\in A.
  • 0-(-1) = 1\in A.
Até aqui tudo bem. Mas agora veja isto:
  • 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.
E 2 não pertence a A, porque A só tem -1,0,1. Logo encontramos um contraexemplo: para x=1 e y=-1 com x,y\in A, o valor x-y=2\notin A.
Isso basta para concluir que A não é fechado sob subtração.

Passo 6

Conclusão lógica final com base nas verificações:
  • A é não vazio e contém 0.
  • A é fechado sob multiplicação.
  • Porém, A não é fechado sob subtração (exemplo: 1-(-1)=2\notin A).
Como o fechamento por subtração é necessário para ser subanel, A não é subanel de \mathbb{Z}.

Resposta

Não — A não é subanel de \mathbb{Z}.

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