Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{P}=\left\{\left(a x^{2}+b x+c\right) / b=a+1, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\mathbb{P}=\{\,p(x)=a x^{2}+b x+c \mid b=a+1,\;a,b,c\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se ele é um subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais. Para isso basta checar, por exemplo, se o vetor zero pertence a \mathbb{P} (axioma da existência de elemento neutro na soma).

Passo 2

O polinômio zero em P_{2}(\mathbb{R}) é
0(x)=0\cdot x^{2}+0\cdot x+0.
Para estar em \mathbb{P} deveríamos ter b=a+1. Aqui a=0 e b=0, logo a condição exige
0 = 0 + 1,
o que é falso. Portanto 0(x)\notin\mathbb{P}, isto é, \mathbb{P}$ não contém o vetor zero.ãé

Resposta

\mathbb{P} não é um subespaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência de elemento neutro (vetor zero) para a soma.

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