Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{R}^{2} é um Espaço vetorial?)

Passo 1

O enunciado pergunta se \mathbb{R}^2, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar sobre \mathbb{R}, é um espaço vetorial. O conteúdo envolve verificar os axiomas de espaço vetorial, a saber:
  • fechamento sob soma e sob multiplicação escalar,
  • comutatividade e associatividade da soma,
  • existência de elemento neutro e inverso aditivo,
  • identidade escalar, associatividade escalar,
  • distributividade escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.

Passo 2

Verificação de fechamento:
  1. Dados (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2,
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)\in\mathbb{R}^2.
  1. Para k\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2,
k\,(x,y)=(k\,x,\;k\,y)\in\mathbb{R}^2.
Logo, há fechamento em ambas operações.

Passo 3

Verificação dos axiomas relativos à soma de vetores:
(a) Comutatividade:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_2+x_1,y_2+y_1)=(x_2,y_2)+(x_1,y_1).
(b) Associatividade:
\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr)+(x_3,y_3) =(x_1+x_2,y_1+y_2)+(x_3,y_3) =(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)
é igual a
(x_1,y_1)+\bigl((x_2,y_2)+(x_3,y_3)\bigr).
(c) Elemento neutro: existe (0,0) tal que
(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
(d) Inverso aditivo: para cada (x,y) existe (-x,-y) com
(x,y)+(-x,-y)=(0,0).

Passo 4

Verificação dos axiomas envolvendo escalares:
(e) Identidade escalar:
1\,(x,y)=(1\cdot x,1\cdot y)=(x,y).
(f) Associatividade escalar: para k_1,k_2\in\mathbb{R},
(k_1\,k_2)\,(x,y)=(k_1 k_2\,x,\;k_1 k_2\,y) =k_1\,(k_2\,x,\;k_2\,y) =k_1\bigl(k_2\,(x,y)\bigr).
(g) Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
k\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =k\,(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =(k\,x_1+k\,x_2,\;k\,y_1+k\,y_2)
que é igual a
k\,(x_1,y_1)+k\,(x_2,y_2).
(h) Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
(k_1+k_2)\,(x,y) =(k_1+k_2)\,x,\;(k_1+k_2)\,y =(k_1 x,k_1 y)+(k_2 x,k_2 y) =k_1\,(x,y)+k_2\,(x,y).

Passo 5

Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos pelas operações usuais em \mathbb{R}^2, concluímos que \mathbb{R}^2 é de fato um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Sim. \mathbb{R}^2, com a adição e multiplicação escalar usuais, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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