Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar
é um Espaço vetorial?)
Passo 1
O enunciado pergunta se
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar sobre
, é um espaço vetorial. O conteúdo envolve verificar os axiomas de espaço vetorial, a saber:
- fechamento sob soma e sob multiplicação escalar,
- comutatividade e associatividade da soma,
- existência de elemento neutro e inverso aditivo,
- identidade escalar, associatividade escalar,
- distributividade escalar em relação à soma de vetores e à soma de escalares.
Passo 2
Verificação de fechamento:
- Dados
,
- Para
e ,
Logo, há fechamento em ambas operações.
Passo 3
Verificação dos axiomas relativos à soma de vetores:
(a) Comutatividade:
(a) Comutatividade:
(b) Associatividade:
é igual a
(c) Elemento neutro: existe
tal que
(d) Inverso aditivo: para cada
existe
com
Passo 4
Verificação dos axiomas envolvendo escalares:
(e) Identidade escalar:
(e) Identidade escalar:
(f) Associatividade escalar: para
,
(g) Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
que é igual a
(h) Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Passo 5
Como todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos pelas operações usuais em
, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Sim.
, com a adição e multiplicação escalar usuais, é um espaço vetorial sobre
.