Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Espaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar {k / k \in \mathbb{R}\}. Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são Subespaços Vetoriais, satisfazendo as operações da soma e multiplicação. Para aqueles que não são, cite um dos axiomas que não é satisfeito. Para isso, considere um escalar \({k / k \in \mathbb{R}\}. \(\mathbb{C}=\{(0,0),(1,0),(3,2)\} é um Espaço vetorial para \mathbb{R}^{2} ?)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\mathbb{C} = \{(0,0),\,(1,0),\,(3,2)\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos checar, no mínimo, a presença do vetor zero, o fechamento sob soma e o fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero: (0,0)\in\mathbb{C}.
Portanto o axioma de existência do vetor nulo está satisfeito.

Passo 3

Testamos o fechamento sob adição: peguemos (1,0) e (3,2), ambos em \mathbb{C}. Então
(1,0)+(3,2) = (4,2).
Como (4,2)\notin\mathbb{C}, o conjunto falha no axioma de fechamento sob adição.

Resposta

\mathbb{C} não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2, pois não é fechado sob adição.

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