Dados os conjuntos de vetores, determine se estes, formam uma base para o subespaço S. Justifique.
\beta_{1}=\{[0,-1,3][4,1,0],[3,1,-1]\} onde S=\{(x, y, z), com x, y, z \in R\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \beta_{1} forma uma base para o subespaço S. Informações dadas:
  • O conjunto é \beta_{1}=\{\,[0,-1,3],\;[4,1,0],\;[3,1,-1]\,\}. Vou denotar esses vetores por
v_{1}=(0,-1,3),\qquad v_{2}=(4,1,0),\qquad v_{3}=(3,1,-1).
  • O subespaço é S=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}, isto é, S=\mathbb{R}^{3}.
  • A pergunta implícita é: os vetores de \beta_{1} formam uma base de S? (ou seja, geram S e são linearmente independentes).

Passo 2

O que é preciso verificar (explicação clara do objetivo prático):
  • Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base de \mathbb{R}^{3} se, e somente se, os vetores forem linearmente independentes (nesse caso automaticamente geram \mathbb{R}^{3}).
    Explicando com calma: “linearmente independentes” significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial onde todos os coeficientes são zero. Para três vetores em \mathbb{R}^{3} há um teste prático e rápido: colocar os vetores como colunas de uma matriz 3\times3 e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, o conjunto de colunas é linearmente independente e, portanto, forma uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Formar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}. Escrevendo em blocos:
A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Aqui, a primeira coluna é v_{1}, a segunda é v_{2} e a terceira é v_{3}. A razão de usar colunas é que assim testamos diretamente se as colunas são linearmente independentes.]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Vou expandir pela primeira linha (fórmula do determinante para 3\times3):
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}),
onde a_{1j} são os elementos da primeira linha e M_{1j} são as respectivas menores (matrizes 2\times2 obtidas removendo a primeira linha e a coluna j). Para a matriz A temos a_{11}=0, a_{12}=4, a_{13}=3.

Passo 5

Calcular explicitamente cada menor:
  • Para a_{11}=0:
\det(M_{11})=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot 0=-1.
  • Para a_{12}=4:
\det(M_{12})=\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-1\cdot 3=1-3=-2.
  • Para a_{13}=3:
\det(M_{13})=\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]3 & 0\end{pmatrix}=(-1)\cdot 0-1\cdot 3= -3.]

Passo 6

Substituir os valores no desenvolvimento do determinante:
\det(A)=0\cdot(-1)-4\cdot(-2)+3\cdot(-3).
Calcular cada termo:
0\cdot(-1)=0,\qquad -4\cdot(-2)=8,\qquad 3\cdot(-3)=-9.
Somando,
\det(A)=0+8-9=-1.

Passo 7

Interpretação do resultado: \det(A)=-1\neq 0. Isso implica que as colunas de A (isto é, v_{1},v_{2},v_{3}) são linearmente independentes. Como são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}, eles geram todo \mathbb{R}^{3}. Portanto satisfazem as duas condições necessárias para ser uma base (gerar e ser linearmente independente).

Passo 8

Conclusão final e encorajamento: os vetores são independentes e formam uma base de S=\mathbb{R}^{3}. Ótimo trabalho — mesmo nervoso dá pra resolver com calma: montar a matriz e calcular o determinante é um caminho direto e confiável para esse tipo de pergunta.

Resposta

Sim. \beta_{1} é uma base de S (pois \det(A)=-1\neq0, logo os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}).

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