Verifique a continuidade da função
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que está definida de forma diferente quando
é igual a
e quando é qualquer outro ponto. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de várias variáveis e como calcular limites nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para o nosso caso, precisamos verificar:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares. Isso facilita a análise porque transforma o comportamento da função em relação a
(a distância até a origem) e
(o ângulo). Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo essas expressões na função
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Como
aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, observamos que o limite de
quando
tende a 0 é
. Isso significa que o valor do limite depende do ângulo
que escolhemos para nos aproximarmos do ponto
. Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Como o limite varia com
, isso significa que o limite não é único. Ou seja, ele depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
.
Passo 6
Como o limite de
quando
não existe (porque depende do ângulo
), não podemos igualar esse limite ao valor da função em
, que é 0. Portanto, a função
não é contínua no ponto
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de
não existe.