Verifique a continuidade da função
f(x, y)=cl x^2-y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que está definida de forma diferente quando é igual a e quando é qualquer outro ponto. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de várias variáveis e como calcular limites nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em um ponto lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0) = 0 se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para o nosso caso, precisamos verificar:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares. Isso facilita a análise porque transforma o comportamento da função em relação a x = r cos theta y = r sin theta (a distância até a origem) e f(r, theta) = (r cos theta)^2 - (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 (o ângulo). Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo essas expressões na função :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
f(r, theta) = r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 thetar^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Como f(r, theta) = cos^2 theta - sin^2 thetacos^2 theta + sin^2 theta aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar:
f(r, theta) = cos^2 theta - sin^2 theta = cos(2theta)
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, observamos que o limite de quando tende a 0 é . Isso significa que o valor do limite depende do ângulo que escolhemos para nos aproximarmos do ponto . Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
Como o limite varia com , isso significa que o limite não é único. Ou seja, ele depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de .

Passo 6

Como o limite de quando não existe (porque depende do ângulo ), não podemos igualar esse limite ao valor da função em , que é 0. Portanto, a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de não existe.

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