Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
a) Mostre que
. Em particular,
.
b) Encontre a solução do PVI:
.
b) Encontre a solução do PVI:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) provar que a transformada de Laplace do delta de Dirac deslocado satisfaz
, em particular
; (b) resolver o problema de valor inicial
com
. Vamos usar a definição da transformada de Laplace, a propriedade de deslocamento do delta e depois aplicar transformadas para achar
e inverter.
Passo 2
Para a parte (a), lembramos a definição de transformada de Laplace: para qualquer função razoável
, temos
Logo,
porque a integral com o delta avalia
em
. Em particular, para
vem
.
Passo 3
Agora na parte (b) aplicamos Laplace em ambos os lados de
com
. Temos
Pela propriedade do delta deslocado,
Assim o lado direito vale
.
Passo 4
Isolando
,
Sabendo que
e usando a propriedade de deslocamento no tempo, obtemos
ou seja
Passo 5
Como antes do impulso em
não há resposta (condições nulas), temos de fato
Resposta
y(t)=