Sejam f:[0, infty) R uma função contínua por partes e t0 >= 0 um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função de que é definida pela seguinte propriedade:
integral0^infty f(t) de
a) Mostre que Lde. Em particular, Lde.
b) Encontre a solução do PVI: y^prime prime+4 y=4 de.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) provar que a transformada de Laplace do delta de Dirac deslocado satisfaz Lde, em particular Lde; (b) resolver o problema de valor inicial y''+4y=4,de com y(0)=y'(0)=0. Vamos usar a definição da transformada de Laplace, a propriedade de deslocamento do delta e depois aplicar transformadas para achar Y(s) e inverter.

Passo 2

Para a parte (a), lembramos a definição de transformada de Laplace: para qualquer função razoável g(t), temos
Lg(t)(s)=integral0^inftye^-stg(t),dt
Logo,
Lde
porque a integral com o delta avalia e^-st em t=t0. Em particular, para t0=0 vem Lde.

Passo 3

Agora na parte (b) aplicamos Laplace em ambos os lados de
y''+4y=4,de
com y(0)=y'(0)=0. Temos
s^2Y(s)+4Y(s)=4,Lde
Pela propriedade do delta deslocado,
Lde
Assim o lado direito vale 4cdottfrac12e^-spi/6=2e^-spi/6.

Passo 4

Isolando Y(s),
(s^2+4)Y(s)=2e^-spi/6,
Y(s)=2e^-spi/6s^2+4
Sabendo que L^-11/(s^2+4)=tfrac12sin(2t) e usando a propriedade de deslocamento no tempo, obtemos
y(t)=2,ul(t-tfracpi6r)cdottfrac12sinl(2(t-tfracpi6)r)
ou seja
y(t)=ul(t-tfracpi6r)sinl(2(t-tfracpi6)r)

Passo 5

Como antes do impulso em t=pi/6 não há resposta (condições nulas), temos de fato
y(t)=0,&0<= t=tfracpi6

Resposta

y(t)= 0,&0<= t=tfracpi6

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