Verifique se a série sum2^infty(-1)^n 1n(ln n)^2 é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série alternada sumn=2^infty(-1)^n1n(ln n)^2Esse conteúdo envolve séries alternadas (teste de Leibniz) e convergência absoluta (teste de série de termos positivos).

Passo 2

Para testar convergência absoluta, a gente considera a série dos valores absolutos: sumn=2^inftyl|(-1)^n1n(ln n)^2r|=sumn=2^infty1n(ln n)^2Como para todo n>=2 o termo 1/(n(ln n)^2) é positivo e decrescente, dá para aplicar o teste integral.

Passo 3

No teste integral avaliamos a integral imprópria correspondente: integral2^inftydxx(ln x)^2Fazemos a substituição u=ln x, logo du=dx/x, e a integral vira integralln2^inftyduu^2=[-1u]ln2^infty=0-l(-tfrac1ln2r)=1ln2,que é finito.

Passo 4

Como a integral convergiu, pela equivalência com série de termos positivos concluímos que sumn=2^infty1/(n(ln n)^2) converge. Isso significa que a série original converge absolutamente, e portanto também converge normalmente.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados