Verifique a continuidade das funções abaixo
  1. f(x, y)= x yx^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é dada por
f(x,y)=xyx^4+y^2&se (x,y)neq(0,0)1&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos precisar analisar o limite em (0,0) e comparar com o valor dado.

Passo 2

Para pontos diferentes de (0,0), f é quociente de polinômios e o denominador x^4+y^2 nunca zera, então f é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para checar continuidade em (0,0), a gente precisa ver se
lim(x,y)to(0,0)xyx^4+y^2
existe e é igual a 1 (que é f(0,0)).

Passo 4

Escolhendo caminhos diferentes: ao longo de y=0, a função vira
f(x,0)=xcdot0x^4+0=0
e o limite é 0. Já ao longo de y=x^2 temos
f(x,x^2)=xcdot x^2x^4+x^4=x^32x^4=12x
que não tende a um número finito quando xto0.

Passo 5

Como o limite depende do caminho (deu 0 por um lado e diverge por outro), o limite não existe em (0,0). Logo não é igual a f(0,0)=1 e a função é discontinuamente ali.

Resposta

A função é contínua em todo R^2 exceto em (0,0), onde não é contínua.

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