Verifique a continuidade das funções por partes no ponto (nível: difícil)
Para verifique a continuidade da função no ponto x=2.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função por partes
f(x)= 2x-5, & xneq2, 0, & x=2,
e queremos verificar se ela é contínua em x=2. Para isso usamos a definição: uma função é contínua em a se e somente se
limxto af(x)=f(a)
Então precisamos calcular limxto2f(x) e comparar com f(2).
Passo 2
Como para xneq2 vale f(x)=2x-5, e essa expressão é contínua em toda reta, temos limxto2f(x)=limxto2(2x-5).
Como a operação é linear, basta substituir x=2:
limxto2(2x-5)=2cdot2-5=4-5=-1
Passo 3
O valor da função no ponto é dado por f(2)=0. Como
limxto2f(x)=-1neq f(2)=0,
a condição de continuidade não é satisfeita. Observamos que o limite existe mas difere do valor da função, caracterizando uma descontinuidade removível.
Resposta
A função não é contínua em x=2; trata-se de uma descontinuidade removível, pois limxto2f(x)=-1 e f(2)=0.