Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano
Passo 1
O enunciado define a função por partes
e pede (i) o domínio de
, (ii) o esboço da região correspondente ao gráfico de
no plano
, e (iii) a imagem (conjunto de valores de saída) de
. O conteúdo envolve funções definidas por partes, domínio, gráfico e imagem de função.
Passo 2
Para achar o domínio, basta verificar onde cada expressão está bem definida. Tanto
quanto
estão definidas para todo
. Como cobrimos todos os
e todos os
, concluímos que
Passo 3
O gráfico de
é a união de dois ramos no plano
:
– Para , temos a reta
– Para
incluindo o ponto
.
– Para , temos a parábola
– Para
com ponto aberto em
(pois em
este ramo não está definido).
Em termos de esboço, desenhe a reta de inclinação
que passa por
para a esquerda, e a parábola que abre para cima no lado direito de
, sem incluir
.
Passo 4
Para a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
– Na reta com
,
varia em
.
– Na parábola com
,
varia em
.
A união desses intervalos é
– Na reta
– Na parábola
A união desses intervalos é
Logo a imagem de
é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: reta para
(incluindo
) e parábola
para
(ponto aberto em
)
Imagem:
Esboço do gráfico: reta
Imagem: