Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano x y\) e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo. \(q(x)= \begin{cases}x+1 & \text { se } x \leq 0, \\\ x^{2} & \text { se } x>0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
q(x)= \begin{cases} x+1, & x\le0,\\\ x^2, & x>0, \end{cases}
e pede (i) o domínio de q, (ii) o esboço da região correspondente ao gráfico de q no plano xy, e (iii) a imagem (conjunto de valores de saída) de q. O conteúdo envolve funções definidas por partes, domínio, gráfico e imagem de função.

Passo 2

Para achar o domínio, basta verificar onde cada expressão está bem definida. Tanto x+1 quanto x^2 estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Como cobrimos todos os x\le0 e todos os x>0, concluímos que
\text{Domínio}(q)=\mathbb{R}.í

Passo 3

O gráfico de q é a união de dois ramos no plano xy:
– Para x\le0, temos a reta
y = x+1,
incluindo o ponto (0,1).
– Para x>0, temos a parábola
y = x^2,
com ponto aberto em (0,0) (pois em x=0 este ramo não está definido).
Em termos de esboço, desenhe a reta de inclinação 1 que passa por (0,1) para a esquerda, e a parábola que abre para cima no lado direito de x=0, sem incluir (0,0).

Passo 4

Para a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
– Na reta y=x+1 com x\in(-\infty,0], y varia em (-\infty,1].
– Na parábola y=x^2 com x\in(0,\infty), y varia em (0,\infty).
A união desses intervalos é
(-\infty,1]\;\cup\;(0,\infty)\;=\;(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Logo a imagem de q é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: reta y=x+1 para x\le0 (incluindo (0,1)) e parábola y=x^2 para x>0 (ponto aberto em (0,0))
Imagem: \mathbb{R}

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