Verifique a convergência ou divergência da série:
sumn=1^infty cos n+nn^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftycos n + nn^3
O tema aqui é séries numéricas e vamos usar o método de comparação com séries p-séries conhecidas.

Passo 2

Separemos a série em duas parcelas:
sumn=1^inftycos n + nn^3 = sumn=1^inftycos nn^3 + sumn=1^inftynn^3

Passo 3

Analisa-mos a segunda série:
nn^3=1n^2
Como isto é uma p-série com p=2>1, temos convergência:
sumn=1^infty1n^2conver>=

Passo 4

Agora olhamos para a primeira série e testamos convergência absoluta:
|cos nn^3|<=1n^3
Como sumn=1^infty1/n^3 converge ( p=3>1), segue que
sumn=1^inftycos nn^3
converge absolutamente, logo converge.

Passo 5

Concluímos que ambas as séries no passo 2 convergem, portanto a soma também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftycos n + nn^3 converge (na verdade, converge absolutamente).

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