7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
y^prime=x+sen(x y), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências do PVI
y' = x + sin(xy), y(0)=1
O conteúdo aqui é o método de Taylor (séries de potências): vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
e determinar os coeficientes an usando a condição inicial e a expansão de sin(xy).

Passo 2

Primeiro escrevemos as expansões em potência de x:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^,n-1,
u(x)=x,y(x)=sumn=0^inftyan,x^,n+1,
e a série de Taylor de sin(u) até ordem x^6:
sin(u)=u-u^36+u^5120+O(x^7)
Substituímos u=sumn=0^infty an x^n+1 nessas três séries e igualamos
y'(x)=x+sin(u(x))
coeficiente a coeficiente.

Passo 3

Da condição inicial y(0)=1 vem
a0=1
Para o termo x^0 em y':
a1 = y'(0) = 0 + sin(0)=0
Para o termo x^1: na esquerda o coeficiente é 2a2, na direita vem 1 (de x) mais 1 (do termo linear de sin(u)), logo
2a2 = 2Longrightarrow a2=1

Passo 4

Para o termo x^2: esquerda dá 3a3, e a direita não há contribuição em x^2, então
3a3=0Longrightarrow a3=0
Para x^3: esquerda é 4a4; na direita sin(u) em x^3 1 - tfrac16 = tfrac56. Assim
4a4 = 56Longrightarrow a4=524

Passo 5

Para x^4: esquerda é 5a5, não há termo em x^4 na direita, logo a5=0.
Para x^5: esquerda é 6a6; da expansão de sin(u) em x^5 obtém-se
underbracea45/24 -underbrace3a261/2 +underbrace1120u^5/120 =-1760,
portanto
6a6=-1760Longrightarrow a6=-17360

Resposta

A solução em série de potências é
y(x)=1+0cdot x+1cdot x^2+0cdot x^3+524x^4+0cdot x^5-17360x^6+cdots
ou, escrevendo apenas os termos não nulos,
y(x)=1+x^2+524,x^4-17360,x^6+O(x^8)

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