7.4A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências do PVI
O conteúdo aqui é o método de Taylor (séries de potências): vamos assumir
e determinar os coeficientes
usando a condição inicial e a expansão de
.
Passo 2
Primeiro escrevemos as expansões em potência de
:
e a série de Taylor de
até ordem
:
Substituímos
nessas três séries e igualamos
coeficiente a coeficiente.
Passo 3
Da condição inicial
vem
Para o termo
em
:
Para o termo
: na esquerda o coeficiente é
, na direita vem
(de
) mais
(do termo linear de
), logo
Passo 4
Para o termo
: esquerda dá
, e a direita não há contribuição em
, então
Para
: esquerda é
; na direita
em
dá
. Assim
Passo 5
Para
: esquerda é
, não há termo em
na direita, logo
.
Para : esquerda é
; da expansão de
em
obtém-se
Para
portanto
Resposta
A solução em série de potências é
ou, escrevendo apenas os termos não nulos,