Exercício 17. (Apostol seção 2.12 exercício 10) Sejam e espaços vetoriais de dimensão e bases ordenadas de e , respectivamente. Seja uma transforação linear tal que e
Calcule .
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de .
Determine a matriz de em relação às bases dadas.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão , com bases ordenadas em e em .
São dadas as imagens
Queremos , as dimensões de e , a matriz de em relação a . Para isso usaremos linearidade e o Teorema do Núcleo e Imagem (nulidade posto dimensão do domínio).
Passo 2
Escrevemos as imagens de e em coordenadas desconhecidas em :
Pela linearidade,
Isso gera o sistema
Passo 3
Resolvendo as duas primeiras equações em a,c:
da primeira c=3-a. Substituindo em 3a+2c=7: