Exercício 17. (Apostol seção 2.12 exercício 10) Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão 2, B=(e1, e2) e C=(f1, f2) bases ordenadas de V e W, respectivamente. Seja T: V W uma transforação linear tal que T(e1+e2)=3 f1+9 f2 e T(3 e1+2 e2)=7 f1+23 f2
  1. Calcule T(e2-e1).
  2. Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.
  3. Determine a matriz de T em relação às bases dadas.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
Tcolon V to W entre espaços vetoriais de dimensão 2, com bases ordenadas
B=(e1,e2) em V e C=(f1,f2) em W.
São dadas as imagens
T(e1+e2)=3,f1+9,f2,
T(3,e1+2,e2)=7,f1+23,f2
Queremos (1) T(e2-e1), (2) as dimensões de ker T e Im,T, (3) a matriz de T em relação a B,C. Para isso usaremos linearidade e o Teorema do Núcleo e Imagem (nulidade + posto = dimensão do domínio).

Passo 2

Escrevemos as imagens de e1 e e2 em coordenadas desconhecidas em C:
T(e1) = a,f1+b,f2, T(e2) = c,f1+d,f2
Pela linearidade,
T(e1+e2) = (a+c),f1 + (b+d),f2 = 3,f1+9,f2,
T(3,e1+2,e2) = (3a+2c),f1 + (3b+2d),f2 = 7,f1+23,f2
Isso gera o sistema
a + c = 3, b + d = 9, 3a + 2c = 7, 3b + 2d = 23

Passo 3

Resolvendo as duas primeiras equações em a,c:
da primeira c=3-a. Substituindo em 3a+2c=7:
3a+2(3-a)=7 Longrightarrow 3a+6-2a=7 Longrightarrow a=1,;c=2
Análogo para b,d: da segunda d=9-b. Em 3b+2d=23:
3b+2(9-b)=23 Longrightarrow 3b+18-2b=23 Longrightarrow b=5,;d=4
Logo
T(e1) = 1,f1+5,f2, T(e2) = 2,f1+4,f2

Passo 4

Agora
T(e2-e1) = T(e2) - T(e1) = (2-1),f1 + (4-5),f2 = f1 - f2

Passo 5

A matriz de T em relação a B,C é
[T]CB = 1 & 2 5 & 4
Como det1&25&4=1cdot4-2cdot5=-6neq0, T é bijetora.
Pelo Teorema da Dimensão (nulidade + posto =2):
dimker T = 0, dimIm,T = 2

Resposta

1) T(e2-e1)=f1-f2 2) dimker T=0,;dimIm,T=2 3)
[T]CB = 1 & 2 5 & 4

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