Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}.
O conteúdo é análise de séries numéricas e vamos usar o teste da razão, que é adequado para séries envolvendo fatoriais.

Passo 2

Defina a_{n} = \frac{2^{n}}{n!}. O teste da razão diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
existe e satisfaz L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 3

Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{2^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{2^{n}}{n!}} =\frac{2^{n+1}}{(n+1)\,n!}\;\cdot\;\frac{n!}{2^{n}} =\frac{2}{n+1}.

Passo 4

Determine o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!} converge absolutamente (logo converge).

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