Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
que é a famosa série harmônica. Vamos usar seis testes distintos para verificar se ela converge ou diverge:
  1. teste do termo geral (ou teste da divergência)
  2. teste da razão (D’Alembert)
  3. teste da raiz (Cauchy)
  4. teste da integral
  5. teste da série- p
  6. teste de condensação de Cauchy

Passo 2

Aplicando o teste do termo geral, observamos
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como o termo geral tende a zero, o teste fica inconclusivo (é condição necessária, mas não suficiente para convergência).

Passo 3

No teste da razão, calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Como o limite é 1, o teste da razão também é inconclusivo.

Passo 4

No teste da raiz, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{\ln n}{n}} =e^0=1.
Mais uma vez o resultado é 1, e o teste da raiz não decide.

Passo 5

Para o teste da integral, note que f(x)=1/x é positiva e decrescente em [1,\infty). Então
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}(\ln t-\ln1) =\infty.
Pelo teste da integral, como a integral diverge, a série \sum1/n também diverge.

Passo 6

No teste da série- p, sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}
converge se e somente se p>1. Aqui p=1, logo a série diverge.

Passo 7

Pelo teste de condensação de Cauchy, definimos b_k=2^k a_{2^k}. Aqui
b_k=2^k\frac{1}{2^k}=1,
e a “série condensada” é \sum_{k=1}^{\infty}1, que claramente diverge. Portanto a série original diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente.

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