Verifique a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando métodos adequados (teste da comparação, razão, raiz, integral, Leibniz, etc - Escolher 6.):
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
que é a famosa série harmônica. Vamos usar seis testes distintos para verificar se ela converge ou diverge:
- teste do termo geral (ou teste da divergência)
- teste da razão (D’Alembert)
- teste da raiz (Cauchy)
- teste da integral
- teste da série-
- teste de condensação de Cauchy
Passo 2
Aplicando o teste do termo geral, observamos
Como o termo geral tende a zero, o teste fica inconclusivo (é condição necessária, mas não suficiente para convergência).
Passo 3
No teste da razão, calculamos
Como o limite é 1, o teste da razão também é inconclusivo.
Passo 4
No teste da raiz, temos
Mais uma vez o resultado é 1, e o teste da raiz não decide.
Passo 5
Para o teste da integral, note que
é positiva e decrescente em
. Então
Pelo teste da integral, como a integral diverge, a série
também diverge.
Passo 6
No teste da série-
, sabemos que
converge se e somente se
. Aqui
, logo a série diverge.
Passo 7
Pelo teste de condensação de Cauchy, definimos
. Aqui
e a “série condensada” é
, que claramente diverge. Portanto a série original diverge.
Resposta
A série
é divergente.