Verifique a convergência/divergência das séries (2) e (3).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n \ln n}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n\ln n}
e pede para verificar se essa série converge ou diverge. Informação relevante: a soma começa em n=2 (para evitar \ln 1=0). Nada mais foi dado.
Passo 2
Escolher um critério: uma boa opção aqui é o Teste da Integral (integral test), que costuma ser o caminho mais direto para séries cujo termo geral envolve n e \ln n. Vou aplicar esse teste porque ele se encaixa bem quando o termo geral vem de uma função contínua, positiva e monótona decrescente em [2,\infty). Se essas condições valerem para a função correspondente f(x), então a série \sum_{n=2}^\infty a_n com a_n=f(n) converge se, e somente se, a integral impropria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Passo 3
Defino a função contínua correspondente:
f(x)=\frac{2}{x\ln x},\qquad x\ge2.
Verifico as condições do Teste da Integral:
Positividade: para x\ge2 tem-se \ln x>0, logo f(x)>0.
Continuidade: f é contínua em [2,\infty) porque \ln x não é zero nem singular aí.
Monotonicidade decrescente: calculo a derivada para mostrar que f é decrescente em [2,\infty).
Para x\ge2 temos \ln x\ge\ln 2>0, então \ln x+1>0 e o numerador é negativo; o denominador é positivo, logo f'(x)<0 em [2,\infty). Portanto f é decrescente.
Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas e posso comparar a série com a integral imprópria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx.
Passo 4
Calculo a integral imprópria:
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x\ln x}\,dx.
Faço a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 temos u=\ln 2. Quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral fica
A integral \int_{\ln 2}^{\infty}\dfrac{1}{u}\,du é \lim_{T\to\infty}\ln u\big|_{u=\ln 2}^{u=T}=\lim_{T\to\infty}\ln T-\ln(\ln 2)=\infty. Portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x\ln x}\,dx=\infty,
ou seja, a integral diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx diverge e f satisfaz as hipóteses do teste, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n\ln n}
também diverge. Comentário didático rápido: a constante 2 não altera a natureza da divergência (multiplicar por constante não transforma uma série divergente em convergente). Outra observação útil para a prova: a série \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^p} converge se, e somente se, p>1; aqui p=1, então diverge (essa conclusão pode ser obtida pelo mesmo cálculo integral).
Resposta
A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{2}{n\ln n} diverge.